Задача по теории вероятностей на метод максимального правдоподобия

В ящике 10 шаров белого и черного цветов. Эксперимент состоит в том, что из ящика наудачу извлекают шары с возвращением до тех пор, пока впервые не появится белый шар. Провели 6 независимых экспериментов, в результате которых пришлось извлечь 4, 1, 2, 3, 2, 1 шар соответственно. Методом максимального правдоподобия оценить количество белых шаров в ящике.

p вероятность вытащить белый шар, (1-p) — черный Ищем вероятности для событий
4 шара это 3 черных и 1 белый (1-p)^3 * p
1 шаров — 1 белый — (1-p)^0 * p
2 шаров — 1 черных 1 белый — (1-p)^1*p
3 шара — 2 черных 1 белый — (1-p)^2 *p
итого P = ((1-p)^3 * p)((1-p)^4 * p)((1-p)^1*p)((1-p)^2*p)((1-p)^1 * p)*((1-p)^0 *p)=p^6 *(1-p)^11,берем натуральный логарифм будет 6*ln(p)+11*ln(1-p)
потом производную 6/p -11 /(1-p)= 0
6-6p-11p=0
17p=6
p=6/17= k/10
k~60/17 ~ 4

Спасибо большое! Но можно чуть пояснить откуда появилось k/10?

Можно пояснить откуда ваялись эти скобки (1-p)^4 * p)?

У меня получилась оценка 4,6. Шаров только 10, после извлечения каждого черного шара вероятности меняются. Максимум функции правдоподобия удалось найти только с помощью Маткада.

p вероятность вытащить белый шар, (1-p) — черный Ищем вероятности для событий
4 шара это 3 черных и 1 белый (1-p)^3 * p
1 шар -0черных 1 белый — (1-p)^0 * p
2 шара — 1 черных 1 белый — (1-p)^1 *p
3 шара — 2 черных 1 белый — (1-p)^2*p
2 шара — 1 черных 1 белый — (1-p)^1*p
1 шара — 0 черных 1 белый — (1-p)^0*p
итого P = ((1-p)^3 * p((1-p)^0 * p)((1-p)^1 *p)((1-p)^2*p)(1-p)^1*p)((1-p)^0*p)далее берем натуральный логарифм будет
потом производную из него и получаем ответы

n=5

Пусть в ящике n шаров черного цвета, тогда 10-n — белых. Вероятность достать черный шар — n\10. Вероятность достать черный шар 3 раза, а белый шар на 4 раз — (n\10)^3 * (10-n)\10. Аналогично для остальных экспериментов. Функция правдоподобия — произведение этих вероятностей. Получим f=(n\10)^7 * ((10-n)\10)^6 = n^7 * (10-n)^6 \ 10^13. Метод макс. правдоподобия — найти n при котором функция принимает максимальное значение. Найдем ноль производной:
7n^6 * (10-n)^6 — n^7 * 6(10-n)^5=0
n^6 * (10-n)^5 * (7(10-n) — 6n)=0
n=5 5\13 — это точка максимума функции f (можно доказать методом интервалов либо посчитав вторую производную в этой точке — она будет отрицательна). Очевидно, количество шаров — целое число. Значит, надо посчитать f(5) и f(6) и выбрать большее.
при n=5 значение функции больше, значит по методу максимального правдоподобия в корзине 5 черных шаров, а следовательно и 5 белых.

В ящике может быть не более 5 белых шаров

https://otvet.mail.ru/question/220730283

Вероятность вытащить белый шар на n-ом ходу равна (x/10)((10-х)/10)^(n-1). Обозначим (х/10)=р, тогда вероятность вытащить белый шар на n-ом ходу Р = p(1-p)^(n-1). Функция правдоподобия будет равна произведению L(р)=Р(n=4)*P(n=1)*P(n=2)*P(n=3)*P(n=2)*P(n=1) = p^6 * (1-p)^7. Найдём логарифмическую функцию правдоподобия ln L(р) = 6*ln p + 7*ln (1-p). Найдём значение р, при котором значение функции ln P будет максимальным (производную от ln P по р приравняем к 0). Полученный ответ: р (max) = 6/13 = 0,4615. p(max) = (x(max)/10), значит х(max) = 60/13=4,615 ~ 5.

Пусть в ящике w белых шаров, тогда вероятность вытянуть белый шар на каждом шаге это p=w/10. В каждом из 6 экспериментов номер первого вытянутого белого шара это случайная величина с геометрическим распределением:
P(X=k)=p * (1-p)^(k-1)

Запишем вероятность получения именно такой серии номеров:
4 1 2 3 2 1

P=p*(1-p)^3 * p * p*(1-p) * p*(1-p)^2 * p*(1-p) * p = p^6 * (1-p)^7

Метод максимального правдоподобия: качестве оценки мы выбираем такое значение параметра w, что вероятность полученной серии имеет наибольшее значение среди возможных.

P = p^6 * (1-p)^7 = (w/10)^6 * ((10-w)/10)^7= w^6 * (10-w)^7 / 10^13
Среди целых значений w от 0 до 10 это выражение принимает наибольшее значение при w=5.
Это и будет оценкой максимального правдоподобия в данной задаче.

Не знаю метод максимального правдоподобия. Я бы перебрал все возможные состояния в ящике и для каждого посчитал вероятность итогов каждого эксперимента. Соответственно, выбрал бы вариант с наибольшей вероятностью.

В ящике 4 белых 10 черных шаров. Из него наудачу вынимают шар, фиксируют его цвет и возвращают шар назад в ящик. Назовем «белым пулом» любую максимальную цепочку подряд вынутых белых шаров. Найти математическое ожидание количества «белых пулов» при извлечении из ящика 20 шаров.

В ящике 4 белых 10 черных шаров. Из него наудачу вынимают шар, фиксируют его цвет и возвращают шар назад в ящик. Назовем «белым пулом» любую максимальную цепочку подряд вынутых белых шаров. Найти математическое ожидание количества «белых пулов» при извлечении из ящика 20 шаров.