Забыл университетские лекции

Вопрос по комбинаторике. Есть 6 наборов матрёшек разного цвета. В каждом наборе 6 матрёшек одинакового цвета. Сколько наборов с разноцветными матрёшками можно составить, если в одном наборе все матрёшки должны быть разного цвета и почему?

Уточните, пожалуйста, постановку задачи:
1) Какие наборы считаются разными? Различаем ли мы разные матрёшки одного цвета? Например, если в наборе красную матрёшку заменить на другую красную матрёшку, то это будет другой набор или тот же?
2) Число матрёшек в наборе с разноцветными матрёшками равно 6 или любое?

1)Если матрёшки одного цвета, но разных размеров, то и наборы считаются разными.
2) всегда 6 от мала до велика.

Из шести матрёшек одного цвета можно выбрать любую одну 6-ю способами.
Из двух семейств, по шесть матрёшек в каждом, можно образовать пары числом способов, равном 6^2.
И так далее, до шести семейств: n=6^6.

Отвечаю на вопрос старт-поста.
Для самой большой матрёшки можно подобрать 6 разных цветов.
Для второй по величине остаётся только 5 цветов
(так как все должны быть разного цвета).
Для третьей по величине остаётся 4 цвета.
Для четвёртой по величине остаётся 3 цвета.
Для пятой по величине остаётся 2 цвета.
Для шестой по величине остаётся только 1 ещё не использовавшийся цвет.
Итого, количество вариантов = 6*5*4*3*2*1 = 6! = 720.

Вы решили другую задачу: не только цвета попарно различны, но — и размеры тоже.
Если я верно понял постановку задач, для того чтобы шестёрки считальсь различными, достаточно различия хотя бы одному параметру.

я думаю в набор не должны входить матрешки одинаково размера, по определению матрешки должны вкладываться друг в друга))

я так же рассуждала вчера вечером, но подумала, что таким образом будет подсчитано число способов, которыми можно составить одну разноцветную матрешку, а нужно посчитать число наборов по 6 штук.

уважаемый Юрий Анатольевич! согласна с вами. в №9 была неправа.

На № 6. Согласен с Вами. Вчера придумал другой подход к этой задаче. Составим матрицу с элементами (р,к) , где р — № матрешки в одном наборе, к — № краски ( или наоборот). Тогда определитель этой матрицы размера М ( где М — кол-во исходных наборов матрешек из М матрешек одного цвета ) будет алгебраической суммой М! разных слагаемых, каждое из которых будет произведением М элементов, взятых по одному из разных строк и столбцов ( то есть соответствовать одному из искомых наборов ).

На № 16. Здесь решалась задача: сколькими способами можно составить ровно 6 наборов с разноцветными матрёшками, если в каждом наборе все матрёшки должны быть разного цвета. При этом порядок их расположения не важен.

Я понял задачу так. Есть шесть наборов, в каждом наборе все матрешки одинакового цвета и разного размера, причем на все шесть наборов сего шесть размеров, т.е., к примеру, самые большие матрешки в каждом наборе одинаковы. Набор матрешек должен содержат ненулевое число матрешек разных размеров и произвольных цветов.

Теперь можно тупо посчитать.

Сколько наборов длины, к примеру, 4 мы можем составить?
В таком наборе должно быть 4 матрешки различных размеров (а всего размеров шесть), значит надо из шестиэлементного множества выбрать четерехэлементное подмножество. Как только такое подмножество выбрано, то каждая из четырех матрешек может принимать один из шести цветов независимо, значит всего наборов из четырех матрешек:

[m]\binom{6}{4}6^4[/m].

Теперь понятно, что всего наборов:

[m]\binom{6}{1}6^1+\binom{6}{2}6^2+\binom{6}{3}6^3+\binom{6}{4}6^4+\binom{6}{5}6^5+\binom{6}{6}6^6 = (1+6)^6-1=117648.[/m]

Я считаю, что набор из нуля матрешек мы не учитываем (если его надо учесть, то, разумеется, к полученной чиселке следует прибавить единицу).

Согласен. Я перечитал условие: действительно, там не сказано, по скольку матрёшек должно быть в выбранной группе.
Обязательное прямо указанное условие только одно — попарно различающиеся цвета.
Мой предыдущий ответ — это последнее слагаемое в Вашей сумме — соответствует числу всех шестёрок.
Итак, для групп с попарно различающимися цветами имеем:
1. Число шестёрок матрёшек, которые можно вложить друг в друга 6! (Боравлев)
2. Число всех шестёрок 6^6 (Ермилов)
3. Число всех возможных наборов (включая пустое мн-во) 7^6 (Мажуга)

Я с утра прочитал задачу и понял, что мое решение неверно (т.к. я неверно понял условие) --- все матрешки в одном наборе должны быть разных цветов, а я этого не учел.

способов. Потом надо выбрать цвета этих матрешек --- это опять [m]\binom{6}{k}[/m] способов, значит всего наборов из шести матрешек различных цветов [m]\binom{6}{k}^2[/m] штук.

Значит всего:

[m]\sum_{k=1}^{6}\binom{6}{k}^2 = \binom{12}{6}-1 = 923.[/m]

Это опять неправильная формула, нужно еще учесть число способов перестановки цветов, т.е. получаем:

[m]\sum_{k=1}^{6}k!\binom{6}{k}^2 =13326.[/m]

Мне понятна лишь первая Ваша (#10) ф-ла. Слова лишь изменим, при том, что ф-ла останется той же:
выбираем k различных (!!) цветов [m]0\le k\le 6[/m], количество таких групп [m]C_6^k6^k[/m], и далее суммируем по k.

варианта.

Надо фиксировать три цвета ---- это [m]\binom{6}{3}[/m] варианта.

Надо фиксировать в каком порядке мы красим три упорядоченные матрешки --- это [m]3![/m]

Итого: [m]3!\binom{6}{3}^2[/m]

>Слова лишь изменим, при том, что ф-ла останется той же:

Выберем k цветов --- это [m]\binom{6}{k}[/m] варианта.
Теперь нельзя сказать, что можно составить [m]6^k[/m] наборов, т.к. цвета уже фиксированы.

Не понимаю..why [m]C_6^3[/m] размеров?! Да, согласен, все 3 цвета должны быть различными, но вот на размеры никакого ограничения нет..
А тогда это 6^3 размеров, вроде бы. Может, мы решаем разные задачи..

Я считаю, что в последовательности должны быть все размеры и цвета различные.

Так я и знал. Тогда — да, суммируются [m]A_6^kC_6^k[/m].

Т.е. Вы согласны с формулой из #14?

Да, эти две формулы — одно и то же.

На № 11. Почему обязательное прямо указанное условие только одно — попарно различающиеся цвета? Ведь в условии сказано, что все цвета в 1-ом наборе разные.

"Попарно" означает, как я понимаю, что не найдётся пары матрёшек одинакового цвета.
Кстати, пустая выборка этому критерию удовлетворяет.

Мне кажется, что если учесть уточнение 2) из #3, то правильным будет ответ Юрия Анатольевича из #6. Хотя, конечно, задача, рассмотренная Андреем Михайловичем, куда интереснее.

Подскажите пожалуйста, какое максимальное количество семизначных чисел можно составить из ряда 1-20

Где можно найти хорошие (средние и трудные) по теории множеств ик комбинаторике( и то и другое)

На полке стоят N книг.сколькими способами можно взять M из них так,что бы никакие две не стояли рядом?

Сколько существует четырехзначных чисел, у которых любые две соседние цифры различаются на 3?
.Пытались просто подбирать варианта, но запутались.
Мама ученика 6 кл.
Будем признательны за помощь

Имеется 3 курицы, 4 утки и два гуся. Сколько имеется наборов птиц таких, что в наборе есть и куры и утки и гуси.