Вопрос по комбинаторике

Имеется 10 пронумерованных от 1 до 10 шаров. Шары помещаются в непрозрачный мешок и перемешиваются. Из мешка достается случайный шар, его номер записывается на бумажке, затем шар возвращается обратно в мешок, и шары в нем снова перемешиваются. Таким образом поступают всего 25 раз, пока не накапливается 25 записей.

Вопрос №1: какова вероятность что по итогам на бумажке записаны все числа от 1 до 10, минимум 1 раз каждое?
Вопрос №2: в среднем, сколько чисел нужно записать таким образом, до момента когда окажутся записаны все числа от 1 до 10?

P.S. ответы нашел при помощи метода Монте-Карло, но интересно чисто математическое решение.

См. Классическая задача о размещении.

Задачу о размещении и другие простые задачи я умею решать. Будь это она, я бы не спрашивал.

Ответ на второй вопрос нашел.
считается так: 10/10 + 10/9 + 10/8 + ... + 10/1

http://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_collector%27s_problem

Первый вопрос остается открытым.

Порядок в записи 25 чисел важен или нет?

Если в этих записях на бумажку порядок важен, то ответ на первый вопрос получается посредством формулы включений-исключений и выглядит примерно так:

[m]\frac{\binom{10}{10}10^{25}-\binom{10}{9}9^{25}+\binom{10}{8}8^{25}-\binom{10}{7}7^{25}+\cdots+\binom{10}{2}2^{25}-\binom{10}{1}1^{25}}{10^{25}}=\frac{54575491469075577}{125000000000000000}.[/m]

Если же порядок не важен, то ответ получается посредством раскладывания чисел по ящикам:

[m]\frac{\binom{25-1}{10-1}}{\binom{25+10-1}{10-1}}=\frac{874}{35061}.[/m]

(это то же самое, что получено в #6)

Оба ответа не верны. Правильный ответ, ~0.48 (48%). Откровенно говоря, еще даже не зная его, я решил, прикинув на глаз: около половины. Уверен, Вы бы подумали так же, поняв условия.

Приведу их в другом виде: Имеется 25 случайных целых чисел от 1 до 10. Какова вероятность, что среди этих 25 записаны все числа от 1 до 10?

Вопрос вообще никак не ограничивает варианты которыми эти числа могут быть записаны: они могут быть записаны не подряд, в любом порядке, каждое число может быть записано больше одного раза, даже все они могут оказаться записаны по 2+ раза, главное, чтоб каждое число оказалось записано по меньшей мере один раз.

Пожалуй, повторюсь: это не классическая шаблонная задача, их я изучил в тот же день. Математического решения у меня до сих пор нет.

по формуле включений-исключений решение правильное. ответ 0.44 не принципиально расходится с вашим. может быть у вас опечатка? или возможен другой вариант — там большие степени — может легко накопиться погрешность. я считала в вольфраме — он хорошо считает!

не сразу поняла — возможно под правильным ответом вы имели в виду тот, что получили по методу монте-карло? тогда хорошее согласие

[m]P=\frac{1307504}{52451256}[/m]
Я же Вам написал, что смотреть надо. Это одна из хорошо известных задач размещения частиц по ящиками.