Во всех клетках таблицы размером 100×100 стоят плюсы…

Во всех клетках таблицы размером 100×100 стоят плюсы. Разрешено
одновременно изменить знаки во всех клетках одной строки или во всех клетках
одного столбца. Можно ли, проделав такие операции несколько раз, получить
таблицу, где ровно 1970 минусов?
А.В. Зелевинский

m-кол-во строк которое меняли четное кол-во раз,n-кол-во столбцов, которое меняли четное кол-во раз. "---" в таблице означает что исходный плюс меняли нечетное кол-во раз.Знак "---" в таблице в клетке(i,j) определяется таким образом, берем сумму изменений стоки i, и столбца j, и проверяем на нечетность, то есть i,j разной четности.Пусть такая таблица есть.
S-сумма минусов. S=m(100-n)+(100-m)n=1970, отсюда m=(1970-100n)/(100-2n)=50+1515/(n-50).
Так как n натуральное, то 1515/(n-50) — тоже.1515=101*3*5*1.
Так как 101 — простое, то для того, чтобы 1515/(n-50) было натуральным необходимо, чтобы 15 делилось на n-50 без остатка.
1) n-50=1, 2) n-50=3, 3)n-50=5 4)n-50=15, все варианты неосуществимы, так как для любого полученного возможного n, соответствующее кол-во строк
m будет больше 100.
Значит такой таблицы нет.
P.s.Подозреваю есть решение попроще))))

Опять описка 4 строка "так как m — натуральное"

Дан квадрат размером 5 × 5, в котором записаны 25 чисел. Выберем одно из чисел (произвольно), обведем его, а остальные числа, стоящие в том же столбце и в той же строке, зачеркнем. Затем выберем одно из оставшихся чисел, обведем его, а остальные числа в тех же строке и столбце зачеркнем. Так сделаем пять раз.
Возьмем сумму обведенных чисел. Оказывается, как бы мы ни выбирали числа, эта сумма всегда равна 56. Попробуйте разгадать это таинственное свойство приведенного квадрата.

В таблицу 9X9 расставлены числа 1, 2, 3, 4.....81. Доказать, что при любой расстановке найдутся две соседние клетки такие, что разность между числами, стоящими в этих клетках, не меньше 6 (соседними называются клетки, имеющие общую сторону).
(6—...кл.)

Числа от 1 до 64 расставили в клетках таблицы 8x8 (по одному в каждую клетку). Докажите, что найдутся две соседних (имеющих общую сторону) клетки, разность чисел в которых не менее 5-ти.

1. Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью пустых трехлитрового и пятилитрового бидонов.
2. Квадратная таблица размером n × n заполнена неотрицательными числами так,
что как сумма чисел любой строки, так и сумма чисел любого столбца равна 1.
Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два
из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.
Н.Б. Васильев, М.И.Башмаков.

В каждую клетку таблицы 3 на 3 записали одно из чисел -1, 0 или 1, а затем нашли суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали. Докажите, что среди полученных чисел имеются равные.