В ряд стоят 30 сапог: 15 правых и 15 левых. Обязательно ли среди них найдутся…

В ряд стоят 30 сапог: 15 правых и 15 левых. Обязательно ли среди них найдутся
а) 20
б) 10
подряд стоящих сапог, среди которых правых и левых поровну?

С а) понятно — контрпример 7 левых, 15 правых, 8 левых, значит не обязательно.

Это для 20. Тут хорошо и сразу.
А для 10?
У меня пока не получается.
Я, правда, и не вкалываю очень.

Не надо вкалывать, надо решать :)
Например так:

есть три десятки сапог 1-10,11-20,21-30. Либо среди них есть десятка с равенством — тогда все в порядке. Либо найдутся две рядом стоящие десятки, "меняющие знак" (например, в 1-10 меньше правых, а в 11-20 — больше правых).

Будем ползти по десятка 2-11,3-12 и.т.д. Это ползание непрерывное в том смысле, что при переходе к следующей десятке перевес либо не меняется, либо меняется на +-2. Ну а теперь понятно, что этой "непрерывности" достаточно для теоремы об инерции знака: если на концах отрезка знак разный, то на отрезке есть корень.

Супер.

а на каком шаге количество правых и левых будет одинаковое?

Около каждой вершины треугольника поставьте какое-нибудь число. Напишите возле каждой стороны этого треугольника число, равное сумме чисел, стоящих у ее концов. Теперь каждое число, стоящее около вершины, сложите с числом, стоящим около противоположной стороны. Почему равны все три получившиеся суммы?

Числа от 1 до 97 расставили по окружности в произвольном порядке. Может ли сумма любых трёх стоящих подряд чисел быть чётной?

В единичный квадрат бросили 51 точку. Доказать, что некоторые три из них обязательно лежат
внутри круга радиуса 1/7.
(6-...кл.)

В клетках шахматной доски стоят натуральные числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Сумма чисел, стоящих в углах доски, равна 16. Найти число, стоящее на поле Е2.
(6-... кл.)

Эта задачка — обязательно не без интереса...

"2. Торговец продает за 3 руб. пучок укропа, перевязанный веревкой (в один ряд). Когда его спросили, за сколько он продаст больший пучок укропа, перевязанный веревкой в два раза длиннее (узел не считается), он ответил: "За 6 рублей". Правильно ли он рассчитал стоимость нового пучка?"
(ессно, задача устная и для младшеклассников. Просто будет прикольно на рынке предложить "за 6-ть рублей")