Свойство хорд 3 пересекающихся окружностей.

Очень похоже на теорему Менелая, но для окружностей.

Доказать, что для хорд, изображенных на рисунке, выполняется равенство.
[m]\frac ab\cdot\frac cd\cdot\frac ef=1[/m].

В общем-то это то же самое, что доказать, что отрезки AD, BE и CF, где A, D — точки пересечения первых двух окружностей, B, E — первой и третьей, C и F — второй и третьей.
Почему? Ну потому что если доказать, что они пересекаются в одной точке O, то рассматривая три вписанных четырехугольника из подобия заменить отношения b/e, d/a, с/f на отношения типа BO/AO, AO/CO и CO/BO, у которых произведение очевидно 1.

Значит достаточно доказать, что прямые, соединяющие точки пересечения каждых двух окружностей проходят через одну точку. Это так называемая теорема о радикальных осях, но я ее докажу. http://en.wikipedia.org/wiki/Radical_axis

Заметим, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей есть "радикальная ось", то есть ГМТ точек, таких что разность квадратов расстояний от любой из них до центров окружностей равна разности квадратов их радиусов.

Почему это так? Возьмем любую точку на прямой l, перпендикулярной прямой n, соединяющую центры окружностей. В силу перпендикулярности l и n и теоремы Пифагора, для любой из точек l разность квадратов расстояний до центров окружностей постоянна и равна разности квадратов отрезков, на которые l делит отрезок, соединяющий диаметры.

Наша прямая, проходящая через точки пересечения, перпендикулярна n (т.к. центры лежат на серединном перпендикуляре к хорде, стягивающей точки пересечения) и для точки пересечения эта разность квадратов расстояний до центров как раз равна разности квадратов радиусов.

Рассмотрим точку пересечения двух из наших трех прямых. Для нее [m]d_1^2-d_2^2 = R_1^2 — R_2^2[/m]
[m]d_2^2-d_3^2 = R_2^2 — R_3^2[/m]
Складывая эти два соотношения видим, что она лежит и на третьей прямой. Значит прямые, соединяющие точки пересечения каждых двух окружностей проходят через одну точку.

Можно, кстати, массу забавных свойств отыскать отсюда. Например, если в маленьких треугольниках по бокам провести биссектрисы углов между b,c; d,e; f,a, а потом основания биссектрис соединить с противолежащими вершинами внутреннего треугольника, то эти три прямых пересекутся в одной точке :)

Спасибо!

Как выяснилось, доказательство этого красивого свойства принадлежит Харуки, названо Теоремой Харуки, но по какой-то причине не имеет широкой известности.
http://www.cut-the-knot.org/proofs/HarukiTheorem.shtml

И от меня парочка.
1.Сравнить (Pi) ^ (e) и е ^ (Pi)
2.Сравнить sin cos1 и cos sin1
3.Сравнить 2^(1/200) и 1,006
4.Через точку А внутри окружности проводятся всевозможные хорды.Найти ГМТ середин этих хорд.

Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Не могу понять, что сравнивать. То ли пути, то ли время. Похоже, что будет система, но никак не составляется. Натолкните на мысль, пожалуйста.

дана задача. В треугольнике АВС биссектриса АА1. на сторонеАС отложена точка В1 так, что АВ=АВ1. окр., проходящая через точки А1, В1, и с пересекает описанную около треугольника окружность в точке Р. Доказать, что касательная к этой окружности, проведённая через точку Р, параллельна стороне Ас треуголника АВС.
Пробовала применить свойства хорд, вводила обозначение сторон, чтобы решить по свойствам равных треугольников ничего не получается. Может быть, эту задачу надо решать от обратного, полагая, что прямые не параллельны?