Сумма ряда

Исследовать на сходимость и вычислить сумму ряда от 1 до бесконечности (n!)^2/2^n^2

Со сходимостью здесь всё просто, достаточно врубить Даламбера.
Насчёт суммы... Хм. Ряд сходится так безумно быстро, что аналитический ответ уже как-то менее интересен.
Если он всё же существует, то это должно быть что-то здорово искусственное. Похоже, расширение общности до
[m]f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{(n!)^2x^{n^2}}[/m]
не критично.
Можно попробовать представить ряд в виде произведения двух других или домножить ещё на что-нибудь — так, чтобы два новых ряда имели бы арифметико-прогрессивные степени. А иначе надежды свернуть это к конечной форме, наверное, и нету. Имхо, имхо...

Ну да, я пока ничего не смог придумать.

Может быть, есть какое-то комбинаторное решение. [m] (n!)^2 [/m] — это количество квадратных матриц nXn с различными упорядоченными парами чисел от 1 до n (или как точнее описать эти матрицы? не знаю).

[m] 2^{n^2} [/m] — это количество таких же матриц из только нулей и единиц, скажем.

Хмммм, дает ли это что-то? пока не придумал.

В таком случае именно двойка будет критична

"Ряд сходится так безумно быстро, что аналитический ответ уже как-то менее интересен"

Слабо понял смысл этого утверждения :) Чем медленнее сходится ряд, тем интереснее аналитический ответ? :)

В каком-то смысле, да.
Если ряд сходится медленно, то, по крайней мере, с вычислительной точки зрения его приближённую сумму найти труднее, чем сумму быстро сходящегося ряда.

Вот задачка, которую пока не смог решить примерно по той же теме.

Доказать по теореме о неподвижной точке, что уравнение
[m]x^5+x^3+2x=2[/m] имеет корень на [0;1]

По теореме рекуррентная последовательность (которую, кстати, тут можно построить разными способами, но я нашел только один подходящий) должна вся принадлежать промежутку и также быть сходящейся. Про "вся принадлежать" доказать несложно, а вот про сходимость...

Помогите решить.
Исследовать на равномерную сходимость ряд: (n^2)*x*(1-x^2)^n; x принадлежит [0,1].

Исследовать на сходимость:
[m]\int_{0}^{1}\frac{(1-cos x)}{\sqrt{x^5+x^6}}\,dx[/m]
Почему нельзя привести подинтегральную функцию к виду (1/2)/(sqrt(x))?

1/((n^6+x^6)^(1/5))

Исследовать на сходимость несобственный интеграл x*e^x^2 dx на отрезке от 0 до +бесконечности

Даны две сходящиеся последовательности х_n>0 и y_n>0. Верно ли что сходится последовательность (x_n)^(y_n) ?