Ряд

Помогите решить.
Исследовать на равномерную сходимость ряд: (n^2)*x*(1-x^2)^n; x принадлежит [0,1].

Вряд ли тут будет равномерная сходимость (поточечная, разумеется, есть). Я бы воспользовался критерием Коши равномерной сходимости функционального ряда. Пусть x строго между 0 и 1. Можно рассмотреть частичные суммы с номерами m и 2m.

Спасибо. У Вас, похоже, опечатка при вычислении геометрической прогрессии: x сокращается.

Если решить как степенной ряд, [math] x\sum_{n=1}^{inf} n^2(1-x^2) = x\sum_{n=1}^{inf} n^2z [/math]
|z|<1; при z=1 ряд сходится только за счет внешнего члена, обращающегося в ноль, можно ли поэтому сделать вывод, что ряд сходится неравномерно при z [0,1] (x [0,1]), теорема Абеля и следствия?

[m] x\sum_{n=1}^{inf} n^2(1-x^2)^n = x\sum_{n=1}^{inf} n^2z^n [/m]

Опечатка есть, верно заметили. Издержки копипастинга...
Для доказательства равномерной сходимости мы обычно используем признак Вейерштрасса (когда соответствующую мажоранту можно подобрать), либо несколько более тонкие утверждения. Когда мы доказываем наличие неравномерной сходимости (то есть отсутствие равномерной при наличии поточечной), тут я с настолько общими подходами не встречался (имея в виду привлечь рассмотрение механизма сходимости с Вашей точки зрения).
В данном же конкретном примере (если моё доказательство правильное) сходимость будет неравномерной даже на открытом промежутке, что, собственно говоря, и доказано.

Кстати, тут признак Вейерштрасса, насколько понимаю, не можем применить (1-x^2)^n < (n^2)*x*(1-x^2)^n,
поскольку в п. В. номер, с которого это неравенство выполняется, должен быть фиксирован?

* И после доказать, что (1-x^2)^n сходится неравномерно

Признак Вейерштрасса носит сугубо достаточный характер и поэтому применим только в одну сторону — для доказательства равномерной сходимости.
Имеет смысл почитать Фихтенгольца :) И разобрать примеры попроще, где мажоранта напрашивается сама.

Понятно, спасибо.

Исследовать на сходимость и вычислить сумму ряда от 1 до бесконечности (n!)^2/2^n^2

Исследовать на сходимость:
[m]\int_{0}^{1}\frac{(1-cos x)}{\sqrt{x^5+x^6}}\,dx[/m]
Почему нельзя привести подинтегральную функцию к виду (1/2)/(sqrt(x))?

1/((n^6+x^6)^(1/5))

Исследовать на сходимость несобственный интеграл x*e^x^2 dx на отрезке от 0 до +бесконечности

Функция f(x) задана на R и имеет конечную производную в точке а. Верно ли что f(x) равномерно непрерывна в некоторой окрестности точки а?

Даны две сходящиеся последовательности х_n>0 и y_n>0. Верно ли что сходится последовательность (x_n)^(y_n) ?