Вопрос про сходимость

Даны две сходящиеся последовательности х_n>0 и y_n>0. Верно ли что сходится последовательность (x_n)^(y_n) ?

Вы прикасаетесь к больному месту.
Часто возникают ожесточённые споры по поводу того, как правильнее считать:
ноль в нулевой степени равен нулю или единице?
Пусть последовательности х_n и y_n обе сходящиеся, обе стремятся к нулю,
оставаясь при этом положительными.
К какому пределу в этом случае стремится последовательность (x_n)^(y_n)?
Ответ завист от того, какая из последовательностей стремится к нулю быстрее.
Если последовательность x_n стремится к нулю гораздо быстрее, чем y_n, то
предел последовательности (x_n)^(y_n) будет равен нулю.
Если же наоборот, последовательность y_n стремится к нулю гораздо быстрее,
чем x_n, то предел последовательности (x_n)^(y_n) будет равен единице.
Но можно представить себе и такой случай, когда в состязании "кто быстрее"
попеременно будут выигрывать то одна из этих двух последовательностей, то
другая. Тогда последовательность (x_n)^(y_n) не будет сходиться.
Ответ: нет.

Дополню Юрия Анатольевича предложением учесть равенство:
[m]a^b = e^{b}\ln a[/m]

Т.е. [m]a^b=e^{b\ln a}[/m]

Пусть последовательность неотрицательных чисел

Вот задачка, которую пока не смог решить примерно по той же теме.

Доказать по теореме о неподвижной точке, что уравнение
[m]x^5+x^3+2x=2[/m] имеет корень на [0;1]

По теореме рекуррентная последовательность (которую, кстати, тут можно построить разными способами, но я нашел только один подходящий) должна вся принадлежать промежутку и также быть сходящейся. Про "вся принадлежать" доказать несложно, а вот про сходимость...

Добрый день. Вот текст задачи:
Найдите [m]\lim _{n\to \infty }[/m], если
[m]x_1=\frac{a}{2}[/m],
где 0 < a < 1 и [m]x_{n+1}=\frac{a}{2}+\frac{x_n^2}{2}[/m]

Что пробовал делать:
Сделал допущение (1), что предел существует и он равен b. Перехожу к пределу: заменил [m]x_1,\ x_{n+1}[/m] на x, решил уравнение. Получил два корня: [m]1-\sqrt{1-a}[/m]
и [m]1+\sqrt{1-a}[/m]

Теперь вопросы:
1) По какому принципу выбирать корень, который будет равен пределу? Первый или второй?
2) Как доказать, что предел существует? (что допущение (1) имеет смысл)

Напишите последовательность из обыкновенных дробей числители которых нечетные однозначные числа знаменатели на четыре больше соответствующих чистелей сколько чисел в даной последовательности ?почему?

При исследовании последовательности a(n) на монотонность, начиная с какого-то номера, можно ли рассматривать последовательность b(n) такую, что a(n) эквивалентно b(n) при n стремится к бесконечности? Если да, где посмотреть доказательство?