СПРОСИ ПРОФИ
👍
+1
👎 120

Матанализ

При исследовании последовательности a(n) на монотонность, начиная с какого-то номера, можно ли рассматривать последовательность b(n) такую, что a(n) эквивалентно b(n) при n стремится к бесконечности? Если да, где посмотреть доказательство?
математический анализ высшая математика математика обучение     #1 ⇒   02 ноя 2016 03:11   Увидели: 98 клиентов, 7 специалистов   Ответить
👍
+1
👎 1
Стремиться к чему бы то ни было НЕ эквивалентно монотонности. И даже если посл. b(n) монотонна, эквивалентная ей a(n) вовсе не обязана такой быть. Пример; b(n)=n; a(n)=n+10sin(n).
  ⇐ #2 ⇒   02 ноя 2016 07:18   Ответить
👍
+1
👎 1
Чтобы исследовать на монотонность, возьмите производную и посмотрите, с какого номера она будет знакопостоянна. Если полученное неравенство довольно сложное, можно его оценить так, чтобы полученное новое неравенство было заметно проще. Это можно делать потому что вам нужно разрешить неравенство только с какого-то места. Вам не обязательно все решения неравенства указывать. Подобная техника применяется при доказательстве пределов по определению.
  ⇐ #3 ⇒   02 ноя 2016 15:36   Ответить
👍
+2
👎 2
Понятия монотонности и эквивалентности прямо не связаны (см.#2). Если Вы хотите исследовать a(n) на монотонность, то можно попробовать рассмотреть разность a(n+1)-a(n). В зависимости от знака этого выражения можно сделать вывод о том, является ли a(n) убывающей/ возрастающей/ неубывающей/ то же с некоторого номера n/ и т.д. Если последовательность a(n) знакоположительна, можно рассмотреть отношение a(n+1)/a(n) и сравнить его с единицей. Иногда удобно использовать производную (см.#3).
  ⇐ #4 ⇒   04 ноя 2016 11:09   Ответить
👍
+1
👎 1
С производной бывают свои заморочки.. требуют внимательности и аккуратности.
Пример посл-ти: a(n)=2n+sin(100n). Очевидно монотонная, а по производной этого не скажешь.
  ⇐ #5 ⇒   04 ноя 2016 13:49   Ответить
👍
0
👎 0
Хороший пример. Кстати, через разность доказать строгую монотонность тоже не совсем уж просто (но можно).
  ⇐ #6 ⇒   04 ноя 2016 18:45   Ответить
👍
+1
👎 1
Спасибо за ответы. В последовательности a(n) = (n+1)/(5n^2-9)*ln(n-2)) сразу нельзя установить монотонность (без взятия производной) путем рассмотрения b(n) = 1/(n*ln(n)), т.к. это нестрого математически?
  ⇐ #7 ⇒   05 ноя 2016 01:57   Ответить
👍
0
👎 0
Можно.
Например, доказав, что элементы в последовательностях значений производных обеих функций есть эквивалентные бесконечно малые.
Это будет означать, что они стремятся к нулю с одной и той же стороны.
  ⇐ #8 ⇒   05 ноя 2016 09:31   Ответить
👍
+1
👎 1
Задача сравнительно трудная, поэтому думаю, что в порядке исключения здесь можно дать решение. В любом случае Вам следует всё хорошо продумать и записать подробнее. Да и я мог ошибиться ;)
  ⇐ #9 ⇒   05 ноя 2016 15:37   Ответить
👍
+2
👎 2
Думаю даже, что можно доказать монотонность для a(n)=P(n)/[Q(n)ln(n)],
где Р — любой многочлен, Q — многочлен более высокого порядка.
  ⇐ #10 ⇒   05 ноя 2016 16:41   Ответить
👍
+1
👎 1
Уверен на 100% в этом. Причём вне зависимости от того, будет ли логарифм прицеплен к числителю или знаменателю.
  ⇐ #15 ⇒   05 ноя 2016 21:47   Ответить
👍
+1
👎 1
Да. На место логарифма можно поставить любую неубывающую функцию. Или даже убывающую функцию f, но "достаточно медленно".
Если k — разность порядков многочленов P и Q, то достаточно, чтобы произведение [m]n^{k-1} f[/m] имело бесконечный положительный предел.
  ⇐ #16 ⇒   05 ноя 2016 22:55   Ответить
👍
0
👎 0
Да, я тоже примерно так рассуждаю. Но это нам сразу видно, а с методической точки зрения всё не очень просто...
  ⇐ #19 ⇒   06 ноя 2016 02:26   Ответить
👍
+1
👎 1
Ну просто это надо преодолеть неодолимую лень, сесть и доказать)).
  ⇐ #20 ⇒   06 ноя 2016 09:51   Ответить
👍
0
👎 0
Прошу прощения за ошибку, логарифм в знаменателе, я забыл поставить скобку. Вопрос был в том, строго ли математически отбросить свободные члены и рассмотреть 1/(n*ln(n)). Но и в измененной п-ти, если отбросить свободные члены, то очевидно, что n растет быстрее чем ln(n).
Свободные члены нельзя отбрасывать, я так понимаю?
  ⇐ #11 ⇒   05 ноя 2016 19:42   Ответить
👍
+1
👎 1
Можно. Скажу больше — можно вообще от многочленов, стоящих в числителе и в знаменателе, оставить только члены со старшими степенями(!)
  ⇐ #12 ⇒   05 ноя 2016 19:46   Ответить
👍
0
👎 0
А почему такое сложное решение у Андрея Тамерлановича?
  ⇐ #13 ⇒   05 ноя 2016 19:55   Ответить
👍
+1
👎 1
Потому что он Вам поверил :)
Если логарифм в знаменателе, то всё гораздо проще — но тут уж Вы сами справитесь, если чуток поразмышляете.
Тогда лучше не частное оценивать, а разность (имхо). А логарифм выбросить, так как и без него монотонность обеспечена. Он только слегка будет помогать.
Мы-то с коллегами именно "ошибочный" пример рассматривали — это интереснее :)
  ⇐ #14 ⇒   05 ноя 2016 21:45   Ответить
👍
0
👎 0
Какая-то путаница присутствует, поясните, пожалуйста:

при решении таких примеров можно/нужно ли отбрасывать свободные члены а) в общем случае б) в данном конкретном (с логарифом в числ. и знамен.).
Выше в ветке сказано, что можно, но Вы при решении задачи этого не делаете. Чтобы избежать "испорченного телефона", прошу ответить сначала Андрея Тамерлановича.
  ⇐ #17 ⇒   06 ноя 2016 00:17   Ответить
👍
+1
👎 1
Мысленно мы сразу отбрасываем всё ненужное :) Как скульптор. На самом деле, "отбрасывать" что-либо можно лишь тогда, когда этому чему-нибудь дана оценка. И мы не можем отбросить слишком много всего, т.к. иначе неравенство может нарушиться. То есть можно отдать пешку, ещё пешку, ну там, лёгкую фигуру — но ферзя стоит придержать.
А вообще научиться делать оценки нелегко, надо практиковаться...
  ⇐ #18 ⇒   06 ноя 2016 02:23   Ответить
👍
+1
👎 1
Было бы интересно доказать нечто общее. Скажем, вот произведение двух функций, одна из которых монотонна, а другая имеет предел.
И неплохо бы понять, на физическом уровне строгости, каковы условия для монотонности такого произведения.
  ⇐ #21   06 ноя 2016 09:56   Ответить

Задайте свой вопрос по высшей математике
профессионалам

● Сейчас онлайн 75 репетиторов по высшей математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 05

Математический анализ   5 ответов

Найти sup xn, inf xn, lim нижний , верхний n стремится к бесконечности , если xn = (-1)^n/n^2+1-(-1)^n/10
  07 окт 2018 23:52  
👍
0
👎 04

Математический анализ   4 ответа

Найти верхний и нижний Lim n стремится к бесконечности, если х=cos^n 2np/3
  10 окт 2018 22:53  
👍
−1
👎 -11

Математический анализ   1 ответ

Доказать , что Lin nстремится к бесконечности (a^1/n-1)=ln a(a>0)
  10 окт 2018 21:47  
👍
+1
👎 12

Доказательство формулы Сриниваза Рамануджана   2 ответа

Читаю Матанализ М.Ю.Пантаева, наткнулся на фразу Доказать формулу (1) вполне по силам нашим читателям. 2 часа над ней бился((
Может кто посоветует как она выводится?

В наглядной форме: https://vk.com/doc2103675_437139467

Сама формула:
∛(∛2-1)=∛(1/9)-∛(2/9)+∛(4/9)
Попытка решения:
Есть формула a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
(a2…
  19 дек 2015 17:38  
👍
0
👎 05

Математический Анализ. Функция разрывна во всех точках   5 ответов

Здравствуйте!
Помогите найти функцию, которая разрывна во всех точках, но при этом для нее выполняется условие: ∀С $\in$ [f(x1),f(x2)] \exists x $\in$[х1 , x2] : f(x) = C.
Строил доказательство на том, что f(x) = y обязательно биекция на каком-то [x1 , x2], но оно неверно, так как R^R равномощно R
  15 окт 2015 19:30  
👍
−1
👎 -11

Как решить: lim x стремится к 4. x- sqrt 3x+4/16-x в квадрате   1 ответ

помогите решить: lim x стремится к 4. x- sqrt 3x+4/16-x в квадрате

  28 мар 2012 09:33  
ASK.PROFI.RU © 2020-2024