Математический анализ

Найти sup xn, inf xn, lim нижний , верхний n стремится к бесконечности , если xn = (-1)^n/n^2+1-(-1)^n/10

Чтобы найти супремум (последовательности просто как числового множества, без учёта упорядоченности), рассмотрите две подпоследовательности: с чётными номерами и с нечётными. Там всё тривиально.

Аналогично с инфимумом.

Ну и так как последовательность сходится, то все её подпоследовательности сходятся к тому же пределу, что и она сама... То есть верхний и нижний пределы совпадают с пределом.

upd: Исправил ниже, каюсь.

Могли бы вы поподробней расписать? Пожалуйста

Кстати, я ошибся. Зрение подвело. У Вас там последнее слагаемое к [m]0[/m] не стремится.

Прочитайте определения инфимума {числового множества}, супремума, верхнего и нижнего пределов.

Ваша последовательность устроена достаточно просто, будучи сшитой из двух бесконечных чередующихся кусков. Надо отдельно рассмотреть [m]x_{2k}[/m], [m]x_{2k-1}[/m], дальше для решения {почти} достаточно знания определений.

Извините, ребёнку сказку рассказывал.

Супремум находим просто как максимальное значение элементов объединения 2 множеств, построенных из элементов указанных подпоследовательностей. Это просто, ибо подпоследовательности монотонны. Должно получиться [m]1,15[/m]. Аналогично инфимум — как минимум. Должно получиться [m]0,1[/m].

Предел последовательности не существует (последовательность расходится), так как [m]x_{2k}[/m] и [m]x_{2k-1}[/m] сходятся к разным пределам.

Верхний предел — это супремум (точная верхняя грань) пределов всевозможных подпоследовательностей. Но из этих подпоследовательностей сходятся лишь те, которые содержат не больше, чем конечное количество элементов одной из подпоследовательностей. Иначе, то есть когда мы берём бесконечно много элементов с чётными и бесконечно много элементов с нечётными номерами, сходимости быть не может — это противоречило бы теореме локализации. Значит, всё множество пределов подпоследовательностей состоит всего лишь из двух чисел, а именно [m]1,15[/m] и [m]0,1[/m]. Здесь и выбираем нужное.

И ещё не забыть, что последовательность является ограниченной.

Давайте напишем по-человечески (посмотрите тему про правила набора формул в латехе, пригодится в жизни)
[m]x_n =\frac {(-1)^n}{n^2}+1-\frac {(-1)^n}{10}[/m]
При чётных n:
[m]x_n =\frac {1}{n^2}+1-\frac {1}{10}=\frac 9{10}+\frac {1}{n^2}[/m]
Подпоследовательность убывает, наибольшее значение при n=2 равно 1.15, предел равен 0.9
При нечётных n:
[m]x_n =-\frac {1}{n^2}+1+\frac {1}{10}=\frac {11}{10}-\frac {1}{n^2}[/m]
Подпоследовательность возрастает, наименьшее значение при n=1 равно 0.1, предел равен 1.1
Тогда при всех n справедливо неравенство
[m]0.1\le x_n \le 1.15[/m],
и оценки достигаются при n=1 и n=2. Максимальное и минимальное значения, когда они существуют, и являются супремумом и инфинумом.
Теперь верхний и нижний предел.
При больших значениях n
[m]0.9 +\frac 1{n^2} \le x_n \le 1.1 — \frac 1{n^2} [/m]
Это и для чётных, и для нечётных, и для любой сходящейся подпоследовательности. Переходя к пределу, получаем, что любой частичный предел заключён между 0.9 и 1.1, поэтому нижний предел не меньше 0.9, а верхний не больше 1.1 Но первое значение — предел подпоследовательности с чётными индексами, а второй — с нечётными. Поэтому есть равенство: нижний предел равен 0.9, а верхний 1.1

Найти верхний и нижний Lim n стремится к бесконечности, если х=cos^n 2np/3

Используя теорему о двух милиционерах, покажите, что
lim (x3 + x2) sin(пx) = 0
x → 0

Теорему знаю, но не понимаю, как ее здесь применить. Помогите, пожалуйста.

lim((1+tgx)^(1/2)-(1+sinx)^(1/2))/x^3
x->0

Добрый вечер, пример:
Lim (sin pi*x — sin 7pi*x):(1-cos 3pi*x)^(1/2), x->1
Вроде все просто и ответ 0, но преподаватель утверждает что это неверно. Вольфрам альфа также выдал 0. В чем может быть загвоздка подскажите,пожалуйста.