Помогите решить предел

lim((1+tgx)^(1/2)-(1+sinx)^(1/2))/x^3
x->0

При базе [m]x\to 0[/m] найдем чему эквивалентен числитель:

[m]\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x} = \left ( 1+x+\frac{1}{3}x^3+O(x^5) \right )^{\frac{1}{2}}-\left ( 1+x-\frac{1}{6}x^3+O(x^5) \right )^{\frac{1}{2}} = \left ( 1+\frac{1}{2}\left (x+\frac{1}{3}x^3 \right )-\frac{1}{8}\left (x+\frac{1}{3}x^3 \right )^2+\frac{1}{16}\left (x+\frac{1}{3}x^3 \right )^3+O(x^4) \right )-\left ( 1+\frac{1}{2}\left (x-\frac{1}{6}x^3 \right )-\frac{1}{8}\left (x-\frac{1}{6}x^3 \right )^2+\frac{1}{16}\left (x-\frac{1}{6}x^3 \right )^3+O(x^4) \right )=1+\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3-1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}x^3+\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{16}x^3+O(x^4)=\frac{1}{4}x^3+O(x^4).[/m]

Теперь легко понять, что ответ есть [m]\frac{1}{4}[/m].

А вообще для того чтобы элеминировать элементарные вопросы студентов 21 века существует такая замечательная штука как Wolfram Alpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim(((1%2Btan(x))%5E(1%2F2)-(1%2Bsin(x))%5E(1%2F2))%2Fx%5E3,x,0)

Альтернативный способ — домножение числителя и знаменателя на сумму корней. Тогда в числителе получится разность подкоренных выражений, т.е. [m]\tan x-\sin x=\tan x (1-\cos x) \sim x\cdot x^2/2[/m], а знаменатель эквивалентен [m]2x^3[/m]

Помогите с пределом
[m]\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,{{(\frac{x+3}{7-x})}^{\frac{1}{{{x}^{2}}-1}}}[/m]

Добрый день. Вот текст задачи:
Найдите [m]\lim _{n\to \infty }[/m], если
[m]x_1=\frac{a}{2}[/m],
где 0 < a < 1 и [m]x_{n+1}=\frac{a}{2}+\frac{x_n^2}{2}[/m]

Что пробовал делать:
Сделал допущение (1), что предел существует и он равен b. Перехожу к пределу: заменил [m]x_1,\ x_{n+1}[/m] на x, решил уравнение. Получил два корня: [m]1-\sqrt{1-a}[/m]
и [m]1+\sqrt{1-a}[/m]

Теперь вопросы:
1) По какому принципу выбирать корень, который будет равен пределу? Первый или второй?
2) Как доказать, что предел существует? (что допущение (1) имеет смысл)

Решить подробно
1. y=tgx (-пи/2; пи/2)
2.y=x^3+x

lim (sin(3x))^2/(tg(2x))^2 при х стремящимся к 0
Спасибо заранее!!!

y'cos^2(x)+y=tgx
пришла к ln|cu|=-tgx, а дальше не идет.
Помогите пожалуйста.

И еще y''cos^2(x)=1, тут уже с самого начала затрудняюсь