СПРОСИ ПРОФИ
👍
+1
👎 15

Как найти предел последовательности, заданной рекуррентной формулой?

Добрый день. Вот текст задачи:
Найдите [m]\lim _{n\to \infty }[/m], если
[m]x_1=\frac{a}{2}[/m],
где 0 < a < 1 и [m]x_{n+1}=\frac{a}{2}+\frac{x_n^2}{2}[/m]

Что пробовал делать:
Сделал допущение (1), что предел существует и он равен b. Перехожу к пределу: заменил [m]x_1,\ x_{n+1}[/m] на x, решил уравнение. Получил два корня: [m]1-\sqrt{1-a}[/m]
и [m]1+\sqrt{1-a}[/m]

Теперь вопросы:
1) По какому принципу выбирать корень, который будет равен пределу? Первый или второй?
2) Как доказать, что предел существует? (что допущение (1) имеет смысл)
высшая математика математика обучение     #1   11 май 2018 21:27   Увидели: 1901 клиент, 49 специалистов   Ответить
👍
+1
👎 1
Т.к. [m]x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{2}(x_n^2-2x_n+a)[/m] и [m]a<1[/m], то ясно (т.к. дискриминатн положительный), что [m]x_{n+1}>x_n[/m] при всех натуральных [m]n[/m].

Покажем по индукции что [m]x_n<1-\sqrt{1-a}[/m].
Легко проверить, что [m]\frac{a}{2}<1-\sqrt{1-a}[/m] верно для всех [m]a\in (0,1)[/m]. Это база нашей индукции.

Шаг делается тривиально и Габену лень его делать.

По сути Габен все решил задачу, теперь откройте Steam и купите там что-нибудь!
  #2   11 май 2018 23:08   Ответить
👍
0
👎 0
Спасибо большое за ответ)) Последнее: Можете порекомендовать релевантную литературу для решения подобных задач?
  #3   12 май 2018 01:41   Ответить
👍
+1
👎 1
Эммм, а можно уточнить, почему из того, что дискриминант положительный, следует (как я это понял), что правая часть (а значит и левая) всегда больше нуля?

Вообще идея хорошая, но, кажется, это было бы верно напротив, если бы дискриминант был отрицательный.
👍
+1
👎 1
Рассмотрим уравнение [m]x=\frac a2 + \frac {x^2}2[/m]
Если [m]x\in[0,1][/m], то значения правой части принадлежат отрезку [m]\left[0 , \frac{a+1}{2} \right]\subset [0,1][/m], поэтому правая часть переводит отрезок [m]\left[0 , \frac{a+1}{2} \right][/m] в себя.
Производная функции [m]\frac a2 + \frac {x^2}2[/m], стоящей в правой части уравнения, равна [m]x\in \left[0 , \frac{a+1}{2} \right][/m] и по модулю не превосходит [m] \frac{a+1}{2} <1[/m]. Дальше пользуемся формулой конечных приращений и убеждаемся, что эта функция — сжатие на [m]\left[0 , \frac{a+1}{2} \right][/m]. Отсюда следует, что итерационная последовательность сходится и предел принадлежит указанному отрезку.
👍
+4
👎 4
На всякий случай — для тех, кто этого не знает.
Отображение [m]f[/m] называется сжимающим (или просто сжатием) на отрезке [m][A,B][/m], если:
1) [m]f[/m] переводит [m][A,B][/m] в себя, т.е. если [m]x\in[A,B][/m], то и [m]f(x)\in[A,B][/m]
2) Существует такое число [m]q<1[/m], что для произвольных [m]x_{1,2}\in[A,B][/m] выполнено неравенство [m]|f(x_1)-f(x_2)| \le q |x_1-x_2|[/m]
В частности, если функция [m]f[/m] дифференцируема на [m][A,B][/m] и для всех [m]x\in[A,B][/m] справедливо неравенство [m]|f^\prime (x)|\le q[/m], то [m]f[/m] — сжатие (при выполнении первого условия, разумеется). Это вытекает из формулы конечных приращений: [m]f(x_1)-f(x_2) =f^\prime (\xi) (x_1-x_2)[/m] ([m]\xi[/m] — некоторое значение, лежащее между [m]x_1[/m] и [m]x_2[/m])
Если отображение [m]f[/m] сжимающее на [m][A,B][/m], то:
1) уравнение [m]x=f(x)[/m] имеет единственное решение на [m][A,B][/m] (оно называется неподвижной точкой отображения [m]f[/m])
2) Последовательность [m]x_{n+1}=f(x_n)[/m] сходится к этому решению, если только [m]x_1\in[A,B][/m] (или [m]x_k\in[A,B][/m] для какого-нибудь [m]k[/m])
Все утверждения остаются справедливы, если отрезок [m][A,B][/m] заменить произвольным замкнутым множеством — например, всей вещественной осью или замкнутым лучом.

Задайте свой вопрос по высшей математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по высшей математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 03

Теорема о неподвижной точке   3 ответа

Вот задачка, которую пока не смог решить примерно по той же теме.

Доказать по теореме о неподвижной точке, что уравнение
[m]x^5+x^3+2x=2[/m] имеет корень на [0;1]

По теореме рекуррентная последовательность (которую, кстати, тут можно построить разными способами, но я нашел только один подходящий) должна вся принадлежать промежутку и также быть сходящейся. Про "вся принадлежать" доказать несложно, а вот про сходимость...
  13 май 2018 20:32  
ASK.PROFI.RU © 2020-2022