👍 +1 👎 |
Как найти предел последовательности, заданной рекуррентной формулой?Добрый день. Вот текст задачи:
Найдите [m]\lim _{n\to \infty }[/m], если [m]x_1=\frac{a}{2}[/m], где 0 < a < 1 и [m]x_{n+1}=\frac{a}{2}+\frac{x_n^2}{2}[/m] Что пробовал делать: Сделал допущение (1), что предел существует и он равен b. Перехожу к пределу: заменил [m]x_1,\ x_{n+1}[/m] на x, решил уравнение. Получил два корня: [m]1-\sqrt{1-a}[/m] и [m]1+\sqrt{1-a}[/m] Теперь вопросы: 1) По какому принципу выбирать корень, который будет равен пределу? Первый или второй? 2) Как доказать, что предел существует? (что допущение (1) имеет смысл)
высшая математика математика обучение
Александр
|
👍 +1 👎 |
Т.к. [m]x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{2}(x_n^2-2x_n+a)[/m] и [m]a<1[/m], то ясно (т.к. дискриминатн положительный), что [m]x_{n+1}>x_n[/m] при всех натуральных [m]n[/m].
Покажем по индукции что [m]x_n<1-\sqrt{1-a}[/m]. Легко проверить, что [m]\frac{a}{2}<1-\sqrt{1-a}[/m] верно для всех [m]a\in (0,1)[/m]. Это база нашей индукции. Шаг делается тривиально и Габену лень его делать. По сути Габен все решил задачу, теперь откройте Steam и купите там что-нибудь! |
👍 0 👎 |
Спасибо большое за ответ)) Последнее: Можете порекомендовать релевантную литературу для решения подобных задач?
|
👍 +1 👎 |
Эммм, а можно уточнить, почему из того, что дискриминант положительный, следует (как я это понял), что правая часть (а значит и левая) всегда больше нуля?
Вообще идея хорошая, но, кажется, это было бы верно напротив, если бы дискриминант был отрицательный. |
👍 +1 👎 |
Рассмотрим уравнение [m]x=\frac a2 + \frac {x^2}2[/m]
Если [m]x\in[0,1][/m], то значения правой части принадлежат отрезку [m]\left[0 , \frac{a+1}{2} \right]\subset [0,1][/m], поэтому правая часть переводит отрезок [m]\left[0 , \frac{a+1}{2} \right][/m] в себя. Производная функции [m]\frac a2 + \frac {x^2}2[/m], стоящей в правой части уравнения, равна [m]x\in \left[0 , \frac{a+1}{2} \right][/m] и по модулю не превосходит [m] \frac{a+1}{2} <1[/m]. Дальше пользуемся формулой конечных приращений и убеждаемся, что эта функция — сжатие на [m]\left[0 , \frac{a+1}{2} \right][/m]. Отсюда следует, что итерационная последовательность сходится и предел принадлежит указанному отрезку. |
👍 +4 👎 |
На всякий случай — для тех, кто этого не знает.
Отображение [m]f[/m] называется сжимающим (или просто сжатием) на отрезке [m][A,B][/m], если: 1) [m]f[/m] переводит [m][A,B][/m] в себя, т.е. если [m]x\in[A,B][/m], то и [m]f(x)\in[A,B][/m] 2) Существует такое число [m]q<1[/m], что для произвольных [m]x_{1,2}\in[A,B][/m] выполнено неравенство [m]|f(x_1)-f(x_2)| \le q |x_1-x_2|[/m] В частности, если функция [m]f[/m] дифференцируема на [m][A,B][/m] и для всех [m]x\in[A,B][/m] справедливо неравенство [m]|f^\prime (x)|\le q[/m], то [m]f[/m] — сжатие (при выполнении первого условия, разумеется). Это вытекает из формулы конечных приращений: [m]f(x_1)-f(x_2) =f^\prime (\xi) (x_1-x_2)[/m] ([m]\xi[/m] — некоторое значение, лежащее между [m]x_1[/m] и [m]x_2[/m]) Если отображение [m]f[/m] сжимающее на [m][A,B][/m], то: 1) уравнение [m]x=f(x)[/m] имеет единственное решение на [m][A,B][/m] (оно называется неподвижной точкой отображения [m]f[/m]) 2) Последовательность [m]x_{n+1}=f(x_n)[/m] сходится к этому решению, если только [m]x_1\in[A,B][/m] (или [m]x_k\in[A,B][/m] для какого-нибудь [m]k[/m]) Все утверждения остаются справедливы, если отрезок [m][A,B][/m] заменить произвольным замкнутым множеством — например, всей вещественной осью или замкнутым лучом. |
👍 0 👎 |
Теорема о неподвижной точке
|