Теорема о неподвижной точке

Вот задачка, которую пока не смог решить примерно по той же теме.

Доказать по теореме о неподвижной точке, что уравнение
[m]x^5+x^3+2x=2[/m] имеет корень на [0;1]

По теореме рекуррентная последовательность (которую, кстати, тут можно построить разными способами, но я нашел только один подходящий) должна вся принадлежать промежутку и также быть сходящейся. Про "вся принадлежать" доказать несложно, а вот про сходимость...

Не очень изящное решение, но всё же:
Преобразуем уравнение к виду
[m]x=1-\frac{2}{x^4+x^3+2x^2+2x+4}[/m]
При [m]x\in [0,1][/m] правая часть принадлежит отрезку [0.5,1] и, следовательно, переводит его в себя. Производная правой части положительна и равна
[m]\frac{2(4x^3+3x^2+4x+2)}{(x^4+x^3+2x^2+2x+4)^2}<\frac{2(4+3+4+2)}{(1/16+1/8+1/2+1+4)^2}<1[/m]
Поэтому правая часть — сжатие на [0.5,1] (если я нигде не наврал)

извращенное доказательство несколько, применение Коши или Больцано-Коши тут более адекватно выглядит.

Ну так в условии же сказано: доказать по теореме о неподвижной точке...

Добрый день. Вот текст задачи:
Найдите [m]\lim _{n\to \infty }[/m], если
[m]x_1=\frac{a}{2}[/m],
где 0 < a < 1 и [m]x_{n+1}=\frac{a}{2}+\frac{x_n^2}{2}[/m]

Что пробовал делать:
Сделал допущение (1), что предел существует и он равен b. Перехожу к пределу: заменил [m]x_1,\ x_{n+1}[/m] на x, решил уравнение. Получил два корня: [m]1-\sqrt{1-a}[/m]
и [m]1+\sqrt{1-a}[/m]

Теперь вопросы:
1) По какому принципу выбирать корень, который будет равен пределу? Первый или второй?
2) Как доказать, что предел существует? (что допущение (1) имеет смысл)

Мне предложена задача, обучаюсь со специализацией теория вероятностей и математическая статистика не в России.. Может быть дадите советы по теме.
Имеется реализация объёма n полиномиальной схемы с N>=2 исходами. Надо предложить какую-либо статистику, заданную на частотах исходов полиномиальной схемы имеющейся реализации. Статистика должна служить для построения оценивания и критериев на согласие, однородность. Но задача осложняется тем, что это могут быть полиномиальные схемы с вероятностями, отличающимися перестановками

сколькими способами можно расставить на шахматной доске чёрного и белого королей так, чтобы они не били друг друга (не стояли на соседних клетках )? (расстановки ,при которых чёрный и белый короли меняются местами , считаются разными ).Сам я получил 3612 способов,но терзают меня смутные сомнения,что это количество нужно удвоить.Помогите!