Математический Анализ. Функция разрывна во всех точках

Здравствуйте!
Помогите найти функцию, которая разрывна во всех точках, но при этом для нее выполняется условие: ∀С $\in$ [f(x1),f(x2)] \exists x $\in$[х1 , x2] : f(x) = C.
Строил доказательство на том, что f(x) = y обязательно биекция на каком-то [x1 , x2], но оно неверно, так как R^R равномощно R

Пример необходимой вам функции есть в замечательной книжке Контрпримеры в анализе (Б. Гелбаум, Дж. Олмстед). Это пример 27 на странице 135 – 136 и он достаточно сложен.

Правда этот пример значительно сильнее того, что вам необходим, а именно там строится такая функция, что множество ее значений на каждом непустом открытом интервале есть [m]\mathbb{R}[/m], и при этом эта функция почти всюду равна нулю (это уже приятный бонус).

Заметим, однако, что [m]|\mathbb{R}^\mathbb{R}|=\aleph_2[/m], [m]|\mathbb{R}|=\aleph_1[/m], т.е. эти множества ни разу не равномощны.

Например, $f(x) = |x|$ легко переделывается в то, что Вам нужно. Для этого достаточно подкорректировать её на подмножестве рациональных чисел и некотором подмножестве иррациональных.

Огромное спасибо, буду разбираться)

Если вдруг кому будет интересно, то я придумал, как построить функцию вида [m]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/m] со следующими свойствами.

1) [m]\textrm{D}(f)=\mathbb{R},[/m]

2) [m]f=0[/m] почти всюду на [m]\mathbb{R}[/m]

3) для любых [m]a<b, a,b\in\mathbb{R}[/m] [m]\textrm{E}\left(f|_{(a,b)}\right)=\mathbb{R}[/m], причем каждое значение функция [m]f[/m] принимает несчетное число раз.

P.S. Это достаточно сложный пример, поэтому я готов его здесь привести только если кому-то он для чего-то нужен, а не просто кому-то любопытно.

А это эскиз графика этой функции кисти Малевича:

При исследовании последовательности a(n) на монотонность, начиная с какого-то номера, можно ли рассматривать последовательность b(n) такую, что a(n) эквивалентно b(n) при n стремится к бесконечности? Если да, где посмотреть доказательство?

2. Исследовать функцию и построить ее график:
y = x ln x
3. Используя понятие дифференциала, приближенно вычислить:
(4корень)80,5

Добрый день, пожалуйста, скажите в каком направлении думать при решении этих задач:

Задача 1:
Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [2,5] и дифференцируема всюду внутри отрезка. При этом f(2)=-2, f(5)=7.
Обязательно ли в интервале (5,2) найдется точка c, такая, что производная в этой точке равна
а) 2
б) 3

Надо, наверное, какой-то теоремой воспользоваться? )

Задача 2:
Вычислите, используя определение производной и не пользуясь теоремой о производной сложной функции, производную функции f(x)=ln(2x-3)

Как-то через предел?

Заранее всем спасибо )