Придумать пример

Здравствуйте!
Нужно построить такую последовательность действительных чисел на сегменте [0, 1], чтобы каждому вещественному числу из этой последовательности можно было бы сопоставить последовательность, состоящую из натуральных чисел.
При этом последовательность действительных чисел на сегменте [0, 1] должна быть задана аналитически, а не наобум ...
Заранее спасибо всем тем, кто сможет придумать такую последовательность.

канторово множество пойдет? Не совсем аналитически, правда его классическое построение

ИМХО там какая-то неправильная формулировка. Что мне запрещает в качестве исходной последовательности взять [m](1,1,1,\ \dots,\ 1,\ \dots)[/m] и каждому ее члену сопоставить последовательность [m](1,1,1,\ \dots,\ 1,\ \dots)[/m]?

Андрей Михайлович, здравствуйте.
Имелось в виду что-то на подобие:

1) {3, 6, 9, 12, 15, ...} — действительное число: 0,001001001...
2) {2, 4, 8, 16, 32, ...} — действительное число: 0,01010001000000.....
3) {2, 3, 5, 8, 12, 17, ...} — действительное число: 0,01101001000100001....
4) {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} — действительное число: 0,10101010101....
5) {1, 2, 3, 4, 5, ...} — действительное число: 0,11111......
6) {.......................} — действительное число: ................

В итоге должна получиться последовательность: {0,001001001..., 0,01010001000000....., 0,01101001000100001...., 0,10101010101...., 0,11111......, ...}. Как Вы видите, я просто проставила на, предположим для первого действительного числа, 3, 6, 9-е места единицы, а на остальные нули.
Просто в моей придуманной последовательности нет никакой формулы для задания последовательности действительных чисел именно в такой форме. Не знаю, можно ли аналитически задать такую последовательность вещественных чисел ....

Тут требуется продвинутая телепатия...

Ну, допустим, так.

[m]\left ( 1,2,3,4,5,\ \dots \right ) \mapsto 0.11111(1)_2[/m] (т.е. понятно как сопоставляем последовательности двоичную запись вещественного (даже рационального) числа);


[m]\left ( 2,3,4,5,6,\ \dots \right ) \mapsto 0.01111(1)_2[/m];

[m]\left ( 3,4,5,6,7,\ \dots \right ) \mapsto 0.00111(1)_2[/m];

[m]\left ( 4,5,6,7,8,\ \dots \right ) \mapsto 0.00011(1)_2[/m];

и.т.д.

Получаем в итоге последовательность рациональных чисел:
[m]\left ( 0.11111(1)_2, 0.01111(1)_2, 0.00111(1)_2,0.00011(1)_2,\ \dots\right) = \left ( 1.(0)_2, 0.1(0)_2, 0.01(0)_2,0.001(0)_2,\ \dots\right)[/m]. Т.е. [m]n[/m]-й член этой последовательности есть [m]\frac{1}{2^{n-1}}[/m].

Спасибо за продвинутую телепатию Андрей Михайлович.
Ко всем бы теоремам, помимо доказательств (бла-бла-бла), добавляли бы хотя бы по одной "продвинутой телепатии" для чайников :-)

На самом деле я думаю, что Вы что-то напутали с условием, т.к. то, что сделано в #5 есть практически бессмысленное задание.

Определенный смысл в задании есть, как мне кажется. Но ваш пример очень замудреный.

Я бы сделал так: [m]a_n=1/n, n=1,2,... [/m]
каждой [m]a_n[/m] соответствует последовательность [m](m^{1/a_n}), m=1,2,...[/m]

Есть обычный самолёт. Он стоит на длинном конвейере. Включаем двигатели. Самолёт начинает движение. Но, конвейер работает по принципу комнатной беговой дорожки (человек бежит по ней, оставаясь на месте относительно пола), т.е. чем быстрее вращаются колёса на шасси самолёта, тем быстрее движется лента конвейера. Вопрос: сможет ли взлететь самолёт?
Трением в шасси и конвейере можно пренебречь.

В колонию, состоящую из n бактерий, попадает один вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию, затем длится на два новых вируса, и одновременно же каждая из оставшихся бактерий тоже делится на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожают две бактерии, и затем оба вируса и все оставшиеся бактерии снова делятся, и так далее. Будет ли эта колония жить бесконечно долго, или в конце концов погибнет?

Боже. Надо ж такое придумать...

[m]n^3-n=k^2-k[/m]
Наткнулся я на красивое сравнение чисел
[m]\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...+\sqrt[3]{6}}}[/m] и 5.

И придумал я аналогичное сравнение
[m]\sqrt{210+\sqrt{210+...+\sqrt{210}}}+\sqrt[3]{210+\sqrt[3]{210+...\sqrt[3]{210}}}[/m] и 21.

А вот обнаружить еще или доказать их отсутствие у меня пока не выходит. А все потому, что уперся я в уравнение в натуральных числах в заглавии темы, и решить его не получается. Может быть, кто-то сможет придумать что-то дельное. :-)

В задании по ГИА указано:Последовательность задана условиями а1= -1,an+1=3an+4. Найдите пятый член последовательности.
Но расчетная формула выглядит: an=kn+b. Мне непонятно что такое в формуле an+1=3an+4 — 3an.Это тоже самое,что3n?