Рассмотрим все натуральные числа

Боже. Надо ж такое придумать...

Рассмотрим сумму чисел
1+2+4+8+16+…
Давайте посчитаем, чему эта сумма равна
x=1+2+4+8+16+…
x=1+2(1+2+4+8+…)
x=1+2x
x=–1
Сумма положительных чисел оказалась равна –1. Где ошибка?

Ой, надо ж такое придумать.
Ну и что с этим делать?
Помоги-и-и-и-те-е-е!
Доказать, что для тупоугольного треугольника имеет место неравенство:
[m]{\cos }^{2}A + {\cos }^{2}B + {\cos }^{2}C > 1[/m]

И задача с приятной формулировкой.

Найти все натуральные тройки (x,y,z), для которых 3xy+3yz+3xz=5xyz+3

Пусть m, n — натуральные числа, r1 — остаток при делении m на n, r2 — остаток при делении m на n. Требуется найти точную верхнюю границу множества чисел вида r1r2/(mn)

Рассмотрим следующие свойства тетраэдра (тетраэдр — это произвольная треугольная пирамида):
• все грани равновелики, то есть имеют одну и ту же площадь;
• каждое ребро равно противоположному;
• все грани равны;
• центры описанной и вписанной сфер совпадают;
• для любой вершины тетраэдра сумма величин сходящихся в этой вершине плоских углов равна 180.
Докажите, что все эти свойства эквивалентны. Найдите ещё несколько равносильных им свойства тетраэдра.
(Н.Б.Васильев, А.Л. Тоом.)