Можно ли число 1999 представить в виде суммы

1. Можно ли число 1999 представить в виде суммы квадратов трёх нечётных чисел ?
2. Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1
(у каждого из остальных ребро равно 1). Найдите объём исходного куба.

2. Это тоже самое, что решить уравнение
[m]{m}^{3} — {n}^{3} = 98[/m].
Очевидно, что маленькие кубики (98) дополняют больший (+1) до до большого (всего 99).
Как расположен больший кубик внутри большого — роли не играет.

1. Скорее всего, надо просто перебрать. Не так долго.

Куб разбит на 27 одинаковых кубиков. В начальный момент жук находится в центральном кубике. Из каждого кубика жук может переходить к соседнему которые имеют с ним общую границу. Может ли жук обойти все кубики побывав в каждом по одному разу?

Придумайте четыре тройки целых неотрицательных чисел, такие, чтобы каждое число от 1 до 81 можно было представить в виде суммы четырех чисел — по одному из каждой тройки.

Полый бак имеет форму усеченного конуса.Высота бака 3 метра , Больший диаметр бака равен 2, 5 метрам , меньший 2 метрам , Если бак наполнять водой со скоростью 10 литров в секунду , сколько времени потребуется , чтобы заполнить бак полностью водой . (Подсказка : объём усеченного конуса можно найти в справочнике по элементарной математике Выгодского.)

По формулировке — предыдущая задача выглядит поинтересней.
Да и следующая — тоже выглядит не плохо...

Является ли точным квадратом число, десятичная запись которого состоит из 1999 троек?

Рассмотрим следующие свойства тетраэдра (тетраэдр — это произвольная треугольная пирамида):
• все грани равновелики, то есть имеют одну и ту же площадь;
• каждое ребро равно противоположному;
• все грани равны;
• центры описанной и вписанной сфер совпадают;
• для любой вершины тетраэдра сумма величин сходящихся в этой вершине плоских углов равна 180.
Докажите, что все эти свойства эквивалентны. Найдите ещё несколько равносильных им свойства тетраэдра.
(Н.Б.Васильев, А.Л. Тоом.)