Математика, олимпиада 8 класс

Здравствуйте! Ничего не смогла придумать во второй задаче.
В пятой мне кажется, сто СМ равно половине диагонали, но доказать не могу.

Расставьте в левой части равентсва
1/a 1/a 1/a 1/a 1/a = (a+1)(a-1)
знаки арифметических операций и скобки так, чтобы равенство стало верным ля всех значений а, отличных от нуля.

Мне не хватает одного слагаемого.

Например, [m]\left( \frac{1}{a}:\left( \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \right)-\frac{1}{a} \right):\frac{1}{a}[/m]

В прямоугольнике ABCD на диагонали АС отмечена точка К, так, что CK = BC. Ha стороне BC отмечена точкам M так, что KM = CM. Докажите, что AK + BM = CM.

Из вершины B опускаем перпендикуляр на диагональ AC. Обозначим P точку его пересечения с отрезком KM. Убеждаемся, что BMP и AKP — равнобедренные треугольники (например, через равенство углов при их основаниях). Тогда
AK + BM =KP +PM = CM.

В школе олимпиада 8 класс. Задачи про раскраску сеток. Учительница ничего не объясняет.
Покажите на каком-либо примере принципы решения таких задач. Там вопросы типа.Какое наименьшее число квадратов покрасить, чтобы вся сетка оказалась покрашенной?

12ведерная бочка заполнена водой. Как разлить воду на две равные части, используя пустые 5ведерные и 8ведерные бочки?

Олимпиада завершилась 25 января, можно обсудить.
Особенно интересна задача №5. Есть идеи? :-)

Даны 6 одинаковых полосок бумаги- 1см на 10 см. Расположить их на листе так, чтобы каждая полоска касалась только одной другой. ( только двух, трех, четырех и пяти полосок- я решила). Слишком просто кажется решение расположить полоски по парам для 3 серии мат. олимпиады. Помогите пожалуйста. Заранее благодарна.

Вася знает четыре числа,сумма которых равна 99. Если первое увеличить на 2, второе уменьшить на 2, третье умножить на 2 четвертое разделить на 2 то получается одно и то же число. Найдите эти числа

Объясните, пожалуйста, корректно ли условие задачи:

Дано, что сумма кубов двух чисел равна их разности.
Доказать, что сумма их квадратов меньше 1.

Вроде, очевидно, что лажа в условии.

Взято отсюда http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=2021
Там тоже выясняют корректность условия.

Может быть так надо:

Доказать, что найдутся два таких числа x,y>0 (или x,y<0) с суммой кубов, равной их разности, что с их сумма квадратов будет меньше единицы.