СПРОСИ ПРОФИ
👍
+3
👎 348

Корни многочлена

при каких а многочлен имеет три действительных корня
x^5-ax^2-ax+1. Нахожу только два корня?
математика обучение     #1   20 янв 2011 15:24   Увидели: 261 клиент, 8 специалистов   Ответить
👍
0
👎 0
Очевидно, что один из корней уравнения x^5-ax^2-ax+1=0 х1=-1. Теперь, делим многочлен x^5-ax^2-ax+1 на (х+1) и получаем? Что получаем? :)
👍
+2
👎 2
разделил, получил x^4-x^3+x^2-(a+1)x+1
  #3   21 янв 2011 12:56   Ответить
👍
−1
👎 -1
Чудесно. Мы получили: х^5-ах^2-ах+1=(х^4–х^3+х^2–(а+1)х+1)*(х+1). Теперь, задача сводится к тому, что нужно найти такие значения а, при которых уравнение х^4–х^3+х^2–(а+1)х+1=0 имеет 2 действительных корня. Теперь, внимательно смотрим на уравнение. Полином 4-го порядка можно представить как произведение 2-х полиномов второго порядка, т.е. х^4–х^3+х^2–(а+1)х+1=(х^2+bx+1)(х^2+cx+1). Такие коэффициенты выбраны по тому, что х^4 порождается произведением х^2 и х^2, а свобоный коэффициент 1 — произведением 1 и 1. Далее что напрашивается?
п.с. графический способ решения задачи я не стал рассматривать, т.к. очень хочется без него обойтись)
👍
+1
👎 1
п.п.с. и не забываем про варианты, когда х^4=(-х^2)(-х^2) и 1=(-1)(-1).
👍
+3
👎 3
а также про варианты, когда 1=2*(1/2)=3*(1/3) и т.д. Описанный прием годится ТОЛЬКО для возвратных многочленов.
👍
+1
👎 1
Ну если a — целое, то лемма Гаусса Ваши варианты запрещает. А мы ведь надеемся пока разложение в общем случае найти. Поэтому для поиска разложения можно считать a целым.
👍
+2
👎 2
Я имел в виду, что и при х^3, и при х получаются коэффициенты (B+C) , причем один из них равен (-1), а другой — (-1-а)
👍
+2
👎 2
Не удержусь от ядовитого комментария : согласно этой логике если а целое, то оно равно нулю.
👍
0
👎 0
Хочу уточнить, что параметр а предполагается целым
  #10   21 янв 2011 15:22   Ответить
👍
+4
👎 4
Ничего себе уточнили )) Илья, а сразу это нельзя было написать?
👍
+1
👎 1
Тогда, как это ни странно, все высказанное всеми до этого — истина. Параметр а может принимать значения 0 или (-2), уравнения получаются возвратным и квазивозвратным и стало быть, судьба Вам их делить на х^2.
👍
+1
👎 1
Теперь угадайте, как я сразу догадался, что "параметр а предполагается целым" ? :)
👍
+4
👎 4
По-видимому, Вы встретили эту задачу на своем жизненном пути в 119-й раз.

"Издевается", — подумал Мюллер.
"Кольцевая", — догадался Штирлиц.
👍
+1
👎 1
Не знаю, но у меня сразу получилось, что параметр "a" in Z \ {-5,--3,-2,-1,0}.
Набросок рассуждений. Нужно выяснить, когда функция a=(x^4-x^3+x^2-x+1)/x имеет ровно два прообраза (оба, конечно, отличны от -1), т.е. дело сводится к банальному исследованию участков возрастания и убывания функции a(x) c помощью знака производной a'(x)=(3x^4-2x^3+x^2-1)/x^2.
Целочисленность "а" имеет здесь непринципиальный, чисто технический характер, ибо просто не наблюдается "хороших" корней у многочлена 3x^4-2x^3+x^2-1 в силу его неразложимости в Q[x].
👍
0
👎 0
Не удается разложить многочлен 4-ой степени на два квадратных многочлена.
  #16   22 янв 2011 20:32   Ответить
👍
+1
👎 1
Если не раскладывается многочлен x^4-x^3+x^2-(a+1)x+1 в произведение двух квадратных многочленов, что это значит.????
  #17   23 янв 2011 20:38   Ответить
👍
0
👎 0
Каким образом вы его раскладываете? Подробности в студию!
👍
0
👎 0
Приравниваю коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получаю систему, а она не имеет решений.
  #19   23 янв 2011 21:30   Ответить
👍
0
👎 0
Покажите какая система получилась.
👍
+1
👎 1
x^4 -x^3+ x^2-(a+1)x+1= x^4 +cx^3 +x^2+bx^3+bcx^2 +bx+x^2+cx+1. Решайте сами и увидите, что b и с получаются иррациональными.
  #21   24 янв 2011 00:34   Ответить
👍
0
👎 0
см.##8-9
👍
+2
👎 2
Нехорошее у вас в правой части разложение. Ещё раз повторю: "и не забываем про варианты, когда х^4=(-х^2)(-х^2) и 1=(-1)(-1)". Введите дополительные параметры в выражение (х^2+bx+1)(х^2+cx+1).
👍
+1
👎 1
Теперь, собственно, преходим к сути дела. Я не спроста акцентировал внимание на корне х1=-1. Есть теоремка, которая гласит: если уравнение нечётной степени имеет корень х=-1 — оно является возвратным, и при делении его левой части на (х+1) получается возвратное уравнение чётной степени.
👍
+1
👎 1
Это обстоятельство нас радует:) и голос свыше нам говорит: теперь, воспользуемся теоремой о том, что возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени при помощи подстановки z=x+1/x
Аллилуйя!!!!!!!!!!!
👍
0
👎 0
Действительно, кольцевая. Теперь прочтите #12. Кстати, при а=-2 получается квазивозвратное уравнение с подстановкой

t=x-1/x
👍
0
👎 0
Зачем вы мне всю интригу сорвали? :) Про квазивозвратное (или, так называемое модифицированное) и обобщённое возвратное уравнение я хотел потом рассказать.
👍
0
👎 0
Уравнение x^4 -x^3+ x^2-(a+1)x+1=0 является возвратным только при а=0, но при этом а оно не имеет действительных корней. И что же делать???? При а=-2 тоже нет корней.????
  #28   24 янв 2011 13:15   Ответить
👍
0
👎 0
Хорошо, вот уже и началась движуха :)
Теперь, я советую почитать про "квазивозвратное (или, так называемое модифицированное) и обобщённое возвратное уравнение".
Хотя бы здесь, для начала: http://ru.wikipedia.org/wiki/Возвратное_уравнение
👍
0
👎 0
Почему же нет корней? Надеюсь, Вы понимаете, что, если

t=x+1/x.

то

х^2+1/(x^2)=( t^2)-2,

а вовсе не t^2, как Вы, наверное, подумали.
👍
0
👎 0
Я ничего такого не думал, а делал, как надо, только корней все равно нет.
  #34   24 янв 2011 23:32   Ответить
👍
0
👎 0
Согласен. Получаются !t!<2. Но проверить Вас все равно стоило.
👍
0
👎 0
Так я уже рассмотрел случай а=-2, уравнение тогда квазивозвратное, но корней то нет????
  #30   24 янв 2011 14:11   Ответить
👍
0
👎 0
И что?
Значит, это значение пераметра вам не подходит (т.к. нам нужно 2 действительных корня получить).
👍
0
👎 0
И возвратное и квазивозвратное не имеют действительных корней. Значит а=0 не подходит, а=-2 не подходит. Пока все Ваши советы ничего не дали. И что делать еще???
  #33   24 янв 2011 23:30   Ответить
👍
0
👎 0
Примерно то, что описано в #15.

На мой вкус, объяснение следующее. Вторая производная правой части всюду положительна, поэтому для нахождения ее "вершины" необходимо выполнение условий

F(x;a)=F`(x;a)=0 ,

то есть решить систему :

x^4 — x^3 + x^2-(a +1)x +1 = 0
4x^3 -3 x^2 + 2x — (a +1) = 0,

или

x^4 — x^3 + x^2- x +1 = ax
4x^3 -3 x^2 + 2x — 1= a.

Исключая a из этой системы, получаем именно то уравнение, которое приведено в #15. Ясно, что это уравнение не решается иначе, как по формуле Кардано. Но локализовать корень, а также оценить, в какой целочисленном множестве первое из уравнений системы обращается в неравенство со знаком "меньше", я надеюсь, может каждый из нас.
👍
0
👎 0
Вот это серьёзный разговор пошёл!
👍
0
👎 0
Установили, что исходный многочлен имеет корень х=-1 при любом а. Теперь рассматриваем два случая: 1) корень х=-1 является кратным корнем, 2) корень х=-1 не является кратным. 1) Если х=-1 кратный корнь, то он является также корнем производной исходного многочлена, находим эту производную, подставляем х=-1, получаем значение а. Исходный многочлен представляем в виде f(x)=(x+1)^2*(x^3-2x^2+3x+1), убеждаемся, что многочлен во второй скобке имеет один действительный корень и (два комплексных). 2) Находим корень многочлена x^4- x^3+x^2-(a+1)x+1, по теореме Виета его надо искать среди делителей свободного члена, он ровно один х=1, подставляем, получаем второе значение а. В этом случае исходный многочлен представляется в виде f(x)=(x+1)(x-1)(x^3+x-1), убеждаемся, что многочлен 3-ей степени имеет один действительный корень. Еще легко доказывается, что а — целое только при целых х. Итак, в ответе два значения а.
👍
0
👎 0
В п.2) получаются ДВА корня : х=1 и х=-1.
👍
+1
👎 1
получилось a= -5 и a=1. Мне защитали. Спасибо.
  #40   26 янв 2011 11:21   Ответить
👍
+3
👎 3
Теперь можно посмотреть графики многочлена при разных "a". Внизу показана область значенй а, при которых число корней равно 3.
👍
+1
👎 1
Согласно условию указаны целочисленные решения.
👍
+1
👎 1
Спасибо за иллюстрацию. В принципе, все это уже рассказано М.М.Бершадским в#15, только ответ был указан с точностью до наоборот.

Основной вопрос (в допущении того, что эта задача уровня С5): можно ли избежать чудовищного по меркам среднего ученика без калькулятора счета ? Ведь вроде все "боковые ветки" решения оказались бесплодными.
👍
0
👎 0
Я был неправ, когда говорил, что а- целое при целых х. Произошло потому, что искал целые х. На графиках отсутствует а=-5, когда есть кратный корень х=-1. Если а=-5, то f(x)=(х+1)^2(x^3-2x^2+3x+1). Программы, строящие графики не учитывают кратные корни.
👍
0
👎 0
оказывается мне засчитали, потому что нужно было найти а, при котором многочлен имеет кратные корни, а это а=-5.
  #45   28 янв 2011 12:17   Ответить
👍
+3
👎 3
Если кто не брезгует графическим подходом к решению, то есть вариант, доступный обычному школьнику
👍
+1
👎 1
Хвала простоте!!! То есть Борису Семёновичу и его картинкам!
А то читаю я всё это и думаю: какие же тут мужики-то умные собрались, только почему-то меня эти КВАЗИ-МОДО-фикации совсем не радуют))))
👍
+1
👎 1
Но эта графика не позволяет найти а, при котором корень кратный. Находим производную, подставляем х=-1, получаем ответ а=-5. Совсем просто.
👍
0
👎 0
Да, это нужно было проверить.

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 00

Комбинаторика_свойство чисел Стирлинга 1-го рода_коэффициенты многочлена   0 ответов

Добрый день!

Можно ли обратиться к Вам по следующему вопросу? Как известно числа Стирлинга первого рода являются коэффициентами при обычных степенях при разложении факториальной степени на сумму обычных степеней. И это свойство чисел Стирлинга связано с циклической структурой подстановки. Можно для начала спросить у Вас, есть ли где-нибудь именно комбинаторное доказательство (а еще лучше объяснение, как например, комбинаторно объясняют биноминальные…
👍
+5
👎 50

Разложим на множители   0 ответов

Разложим на множители x^8+x^7+1, x^8+x+1, x^5+x+1 и т. п.( в понятно какой степени, обязательно чем подобие, подумать). Такие многочлены разлагаются на два многочлена. Первый степени 2: (x^2+x+1), второй понятно какой степени, обязательно со чередованием знаков методом неопределенных коэффициентов. Например,
x^8+x^7+1=(x^2+x+1)(x^6-x^4+x^3-x+1)
👍
0
👎 09

Вопрос по задаче с параметром   9 ответов

при каких а корни уравнения лежат между числом 3?
3ax^2 — 2(7a + 3)x +3a^2 + 30 = 0

я составил систему:
D > 0
x1 < 3
x2 > 3

решая первое неравенство из этой системы, я прихожу к многочлену третьей степени. корни не подбираются. и ваще, калькулятор решить этот многочлен не может.

потом нагуглил вот это вот:
"Если М — какое-то число, то x1 < M < x2 в том и только в том случае, когда a*f(M) <…
  21 сен 2012 17:46  
👍
0
👎 038

Прогрессия и уравнение   38 ответов

Найти все значения a, при которых уравнение [m]x^8+\text{ax}^4+1 =0[/m] имеет ровно четыре корня и эти корни образуют арифметическую прогрессию.

в уравнение все корни в четной степени → при любом X они автоматом будут неотрицательны. → Значит [m]a[/m] будет неположительна. — я думаю от этих рассуждений и нужно плясать. можно сделать замену y = x^4 и будет квадратное уравнение y^2 + ay + 1 = 0. из этого уравнения получаем, что D =…
  27 фев 2012 02:10  
👍
+2
👎 22

Не сходится с ответом, помогите.   2 ответа

При каких действительных р уравнение имеет решение
4^x+2^(x+2)+7=p-4^(-x)-2*2^(1-x)
Делаю замену 2^x+2^(-x)=t
t^2+4t+5-p=0
Преобразовываю, нахожу р>5, а в ответе р>13
Где ошибка?
  01 июн 2011 15:31  
👍
+1
👎 19

Кратные корни   9 ответов

прикаком соотношении между a и b многочлен x^5+ax^3+b имеет в R двухкратный корень, отличный от нуля. Пытался использовать производную и решать совместно с исходным многочленом, не получилось.
  27 янв 2011 14:27  
ASK.PROFI.RU © 2020-2024