👍 +3 👎 |
Корни многочленапри каких а многочлен имеет три действительных корня
x^5-ax^2-ax+1. Нахожу только два корня?
математика обучение
илья браверман
|
👍 0 👎 |
Очевидно, что один из корней уравнения x^5-ax^2-ax+1=0 х1=-1. Теперь, делим многочлен x^5-ax^2-ax+1 на (х+1) и получаем? Что получаем?
|
👍 +2 👎 |
разделил, получил x^4-x^3+x^2-(a+1)x+1
|
👍 −1 👎 |
Чудесно. Мы получили: х^5-ах^2-ах+1=(х^4–х^3+х^2–(а+1)х+1)*(х+1). Теперь, задача сводится к тому, что нужно найти такие значения а, при которых уравнение х^4–х^3+х^2–(а+1)х+1=0 имеет 2 действительных корня. Теперь, внимательно смотрим на уравнение. Полином 4-го порядка можно представить как произведение 2-х полиномов второго порядка, т.е. х^4–х^3+х^2–(а+1)х+1=(х^2+bx+1)(х^2+cx+1). Такие коэффициенты выбраны по тому, что х^4 порождается произведением х^2 и х^2, а свобоный коэффициент 1 — произведением 1 и 1. Далее что напрашивается?
п.с. графический способ решения задачи я не стал рассматривать, т.к. очень хочется без него обойтись) |
👍 +1 👎 |
п.п.с. и не забываем про варианты, когда х^4=(-х^2)(-х^2) и 1=(-1)(-1).
|
👍 +3 👎 |
а также про варианты, когда 1=2*(1/2)=3*(1/3) и т.д. Описанный прием годится ТОЛЬКО для возвратных многочленов.
|
👍 +1 👎 |
Ну если a — целое, то лемма Гаусса Ваши варианты запрещает. А мы ведь надеемся пока разложение в общем случае найти. Поэтому для поиска разложения можно считать a целым.
|
👍 +2 👎 |
Я имел в виду, что и при х^3, и при х получаются коэффициенты (B+C) , причем один из них равен (-1), а другой — (-1-а)
|
👍 +2 👎 |
Не удержусь от ядовитого комментария : согласно этой логике если а целое, то оно равно нулю.
|
👍 0 👎 |
Хочу уточнить, что параметр а предполагается целым
|
👍 +4 👎 |
Ничего себе уточнили )) Илья, а сразу это нельзя было написать?
|
👍 +1 👎 |
Тогда, как это ни странно, все высказанное всеми до этого — истина. Параметр а может принимать значения 0 или (-2), уравнения получаются возвратным и квазивозвратным и стало быть, судьба Вам их делить на х^2.
|
👍 +1 👎 |
Теперь угадайте, как я сразу догадался, что "параметр а предполагается целым" ?
|
👍 +4 👎 |
По-видимому, Вы встретили эту задачу на своем жизненном пути в 119-й раз.
"Издевается", — подумал Мюллер. "Кольцевая", — догадался Штирлиц. |
👍 +1 👎 |
Не знаю, но у меня сразу получилось, что параметр "a" in Z \ {-5,--3,-2,-1,0}.
Набросок рассуждений. Нужно выяснить, когда функция a=(x^4-x^3+x^2-x+1)/x имеет ровно два прообраза (оба, конечно, отличны от -1), т.е. дело сводится к банальному исследованию участков возрастания и убывания функции a(x) c помощью знака производной a'(x)=(3x^4-2x^3+x^2-1)/x^2. Целочисленность "а" имеет здесь непринципиальный, чисто технический характер, ибо просто не наблюдается "хороших" корней у многочлена 3x^4-2x^3+x^2-1 в силу его неразложимости в Q[x]. |
👍 0 👎 |
Не удается разложить многочлен 4-ой степени на два квадратных многочлена.
|
👍 +1 👎 |
Если не раскладывается многочлен x^4-x^3+x^2-(a+1)x+1 в произведение двух квадратных многочленов, что это значит.????
|
👍 0 👎 |
Каким образом вы его раскладываете? Подробности в студию!
|
👍 0 👎 |
Приравниваю коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получаю систему, а она не имеет решений.
|
👍 0 👎 |
Покажите какая система получилась.
|
👍 +1 👎 |
x^4 -x^3+ x^2-(a+1)x+1= x^4 +cx^3 +x^2+bx^3+bcx^2 +bx+x^2+cx+1. Решайте сами и увидите, что b и с получаются иррациональными.
|
👍 0 👎 |
см.##8-9
|
👍 +2 👎 |
Нехорошее у вас в правой части разложение. Ещё раз повторю: "и не забываем про варианты, когда х^4=(-х^2)(-х^2) и 1=(-1)(-1)". Введите дополительные параметры в выражение (х^2+bx+1)(х^2+cx+1).
|
👍 +1 👎 |
Теперь, собственно, преходим к сути дела. Я не спроста акцентировал внимание на корне х1=-1. Есть теоремка, которая гласит: если уравнение нечётной степени имеет корень х=-1 — оно является возвратным, и при делении его левой части на (х+1) получается возвратное уравнение чётной степени.
|
👍 +1 👎 |
Это обстоятельство нас радует
Аллилуйя!!!!!!!!!!! |
👍 0 👎 |
Действительно, кольцевая. Теперь прочтите #12. Кстати, при а=-2 получается квазивозвратное уравнение с подстановкой
t=x-1/x |
👍 0 👎 |
Зачем вы мне всю интригу сорвали?
|
👍 0 👎 |
Уравнение x^4 -x^3+ x^2-(a+1)x+1=0 является возвратным только при а=0, но при этом а оно не имеет действительных корней. И что же делать???? При а=-2 тоже нет корней.????
|
👍 0 👎 |
Хорошо, вот уже и началась движуха
Теперь, я советую почитать про "квазивозвратное (или, так называемое модифицированное) и обобщённое возвратное уравнение". Хотя бы здесь, для начала: http://ru.wikipedia.org/wiki/Возвратное_уравнение |
👍 0 👎 |
Почему же нет корней? Надеюсь, Вы понимаете, что, если
t=x+1/x. то х^2+1/(x^2)=( t^2)-2, а вовсе не t^2, как Вы, наверное, подумали. |
👍 0 👎 |
Я ничего такого не думал, а делал, как надо, только корней все равно нет.
|
👍 0 👎 |
Согласен. Получаются !t!<2. Но проверить Вас все равно стоило.
|
👍 0 👎 |
Так я уже рассмотрел случай а=-2, уравнение тогда квазивозвратное, но корней то нет????
|
👍 0 👎 |
И что?
Значит, это значение пераметра вам не подходит (т.к. нам нужно 2 действительных корня получить). |
👍 0 👎 |
И возвратное и квазивозвратное не имеют действительных корней. Значит а=0 не подходит, а=-2 не подходит. Пока все Ваши советы ничего не дали. И что делать еще???
|
👍 0 👎 |
Примерно то, что описано в #15.
На мой вкус, объяснение следующее. Вторая производная правой части всюду положительна, поэтому для нахождения ее "вершины" необходимо выполнение условий F(x;a)=F`(x;a)=0 , то есть решить систему : x^4 — x^3 + x^2-(a +1)x +1 = 0 4x^3 -3 x^2 + 2x — (a +1) = 0, или x^4 — x^3 + x^2- x +1 = ax 4x^3 -3 x^2 + 2x — 1= a. Исключая a из этой системы, получаем именно то уравнение, которое приведено в #15. Ясно, что это уравнение не решается иначе, как по формуле Кардано. Но локализовать корень, а также оценить, в какой целочисленном множестве первое из уравнений системы обращается в неравенство со знаком "меньше", я надеюсь, может каждый из нас. |
👍 0 👎 |
Вот это серьёзный разговор пошёл!
|
👍 0 👎 |
Установили, что исходный многочлен имеет корень х=-1 при любом а. Теперь рассматриваем два случая: 1) корень х=-1 является кратным корнем, 2) корень х=-1 не является кратным. 1) Если х=-1 кратный корнь, то он является также корнем производной исходного многочлена, находим эту производную, подставляем х=-1, получаем значение а. Исходный многочлен представляем в виде f(x)=(x+1)^2*(x^3-2x^2+3x+1), убеждаемся, что многочлен во второй скобке имеет один действительный корень и (два комплексных). 2) Находим корень многочлена x^4- x^3+x^2-(a+1)x+1, по теореме Виета его надо искать среди делителей свободного члена, он ровно один х=1, подставляем, получаем второе значение а. В этом случае исходный многочлен представляется в виде f(x)=(x+1)(x-1)(x^3+x-1), убеждаемся, что многочлен 3-ей степени имеет один действительный корень. Еще легко доказывается, что а — целое только при целых х. Итак, в ответе два значения а.
|
👍 0 👎 |
В п.2) получаются ДВА корня : х=1 и х=-1.
|
👍 +1 👎 |
получилось a= -5 и a=1. Мне защитали. Спасибо.
|
👍 +3 👎 |
Теперь можно посмотреть графики многочлена при разных "a". Внизу показана область значенй а, при которых число корней равно 3.
|
👍 +1 👎 |
Согласно условию указаны целочисленные решения.
|
👍 +1 👎 |
Спасибо за иллюстрацию. В принципе, все это уже рассказано М.М.Бершадским в#15, только ответ был указан с точностью до наоборот.
Основной вопрос (в допущении того, что эта задача уровня С5): можно ли избежать чудовищного по меркам среднего ученика без калькулятора счета ? Ведь вроде все "боковые ветки" решения оказались бесплодными. |
👍 0 👎 |
Я был неправ, когда говорил, что а- целое при целых х. Произошло потому, что искал целые х. На графиках отсутствует а=-5, когда есть кратный корень х=-1. Если а=-5, то f(x)=(х+1)^2(x^3-2x^2+3x+1). Программы, строящие графики не учитывают кратные корни.
|
👍 0 👎 |
оказывается мне засчитали, потому что нужно было найти а, при котором многочлен имеет кратные корни, а это а=-5.
|
👍 +3 👎 |
Если кто не брезгует графическим подходом к решению, то есть вариант, доступный обычному школьнику
|
👍 +1 👎 |
Хвала простоте!!! То есть Борису Семёновичу и его картинкам!
А то читаю я всё это и думаю: какие же тут мужики-то умные собрались, только почему-то меня эти КВАЗИ-МОДО-фикации совсем не радуют)))) |
👍 +1 👎 |
Но эта графика не позволяет найти а, при котором корень кратный. Находим производную, подставляем х=-1, получаем ответ а=-5. Совсем просто.
|
👍 0 👎 |
Да, это нужно было проверить.
|
👍 0 👎 |
Комбинаторика_свойство чисел Стирлинга 1-го рода_коэффициенты многочлена
|
👍 +5 👎 |
Разложим на множители
|
👍 0 👎 |
Вопрос по задаче с параметром
|
👍 0 👎 |
Прогрессия и уравнение
|
👍 +2 👎 |
Не сходится с ответом, помогите.
|
👍 +1 👎 |
Кратные корни
|