Докажите, что из любых (n + 1) натуральных чисел можно выбрать два

Докажите, что из любых (n + 1) натуральных чисел можно выбрать два,
разность которых делится на n.
(6-8кл.)

Докажите, что существуют 2012 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого.
(9 — ...кл.)

Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.
(6-...кл.)

Доказать, что для любых натуральных чисел [m]n[/m] и [m]k[/m] найдутся такие натуральный числа [m]p[/m] и [m]q[/m], что будет выполняться равенство
[m]np + 1 = {q}^{k}[/m]

Чегой-то разобрало.
Формулировка выглядит по каким-то причинам удачной.
Впрочем, это всего лишь личное мнение.

На бесконечном листе клетчатой бумаги выбрано пять узлов (узлом называется точка, где пересекаются линии сетки). Докажите, что из этих пяти узлов наверняка можно выбрать два таких, что соединяющий их отрезок проходить еще через один узел сетки.

Числа от 1 до 64 расставили в клетках таблицы 8x8 (по одному в каждую клетку). Докажите, что найдутся две соседних (имеющих общую сторону) клетки, разность чисел в которых не менее 5-ти.

"В данный круг вписать прямоугольник наибольшей площади."

(ну, чего-то совсем скучно... посмотрим что в Квантах про окружность...)

"Четыре круга, центры которых — вершины выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
Г.А. Гальперин."