Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два

Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.
(6-...кл.)

Докажите, что из любых (n + 1) натуральных чисел можно выбрать два,
разность которых делится на n.
(6-8кл.)

Доказать, что среди любых 6 человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое незнакомых друг с другом. (Задача Рамсея.)
(6—... кл.)

В таблицу 9X9 расставлены числа 1, 2, 3, 4.....81. Доказать, что при любой расстановке найдутся две соседние клетки такие, что разность между числами, стоящими в этих клетках, не меньше 6 (соседними называются клетки, имеющие общую сторону).
(6—...кл.)

Доказать, что для любых натуральных чисел [m]n[/m] и [m]k[/m] найдутся такие натуральный числа [m]p[/m] и [m]q[/m], что будет выполняться равенство
[m]np + 1 = {q}^{k}[/m]

Числа от 1 до 64 расставили в клетках таблицы 8x8 (по одному в каждую клетку). Докажите, что найдутся две соседних (имеющих общую сторону) клетки, разность чисел в которых не менее 5-ти.