Задача Рамсея

Доказать, что среди любых 6 человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое незнакомых друг с другом. (Задача Рамсея.)
(6—... кл.)

Какое наибольшее число утверждений из приводимых ниже, которые одновременно могут быть истинными:
1) Джо ловкач,
2) Джо не везёт,
3) Джо везёт, но он не ловкач,
4) если Джо ловкач, то ему не везёт,
5) Джо является ловкачом тогда и только тогда, когда ему везёт,
6) либо Джо ловкач, либо ему везёт, но не то и другое одновременно?
(6-... кл.)

Среди 9 мушкетеров некоторые поссорились и вызвали друг друга на дуэль.Докажите, что если среди них нет трех, которые должны драться друг с другом, то среди мушкетеров найдутся 4 друзей.

Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.
(6-...кл.)

Докажите, что количество людей, живущих и когда либо живших на Земле, совершивших нечётное количество рукопожатий, четно.

(типа устно)

Некоторые задачи поражают некоторой несуразностью.
Тем не менее, часто бывает, что в таких задачах есть что-то интересное, и даже очень интересное.
Что ж, задачи не выбирают.

— Переходите к геометрии. Что у вас там? Круг? Вот и отлично. — И вместо столь знакомых мне теорем по учебнику Семашко, на которых зиждилось все преподавание геометрии в корпусе, маленький генерал велел начертить просто круг, потом другой, побольше, и предложил определить центры всех третьих кругов, касающихся первых двух.