В компании из n человек каждые двое незнакомых

Некоторые задачи поражают некоторой несуразностью.
Тем не менее, часто бывает, что в таких задачах есть что-то интересное, и даже очень интересное.
Что ж, задачи не выбирают.

— Ручаюсь, — сказал продавец в зоомагазине, — что этот попугай будет повторять любое услышанное слово.
Обрадованный покупатель приобрёл чудо-птицу, но, придя домой, обнаружил, что попугай нем, как рыба. Тем не менее продавец не лгал.
Как вы объясните кажущееся противоречие?

Доказать, что среди любых 6 человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое незнакомых друг с другом. (Задача Рамсея.)
(6—... кл.)

В компании врунишек один лжет с понедельника по среду, а другой с четверга по субботу. В другие дни они говорят правду. Вчера я врал, так они говорят друг другу. В какой день они оба могли так сказать?

В процессе занятий со школьниками мы очень часто приводим в пример торт, который делится на части. Такой пример очень хорошо характеризует дробные числа, позволяет их ощущать более явно, дает возможность их наглядного сравнения.
Эта задача просто должна была прийти мне в голову, но, как ни странно, не пришла. Зато пришла кому-то другому. :-)

Задача.
На какое минимальное число кусков надо разрезать [m]m[/m] одинаковых тортов, чтобы эти куски можно было раздать поровну [m]n[/m] людям?