Докажите, что количество людей, живущих и когда либо живших на Земле

Докажите, что количество людей, живущих и когда либо живших на Земле, совершивших нечётное количество рукопожатий, четно.

(типа устно)

Собралась группа ребят. Мальчики при встрече обменялись рукопожатиями. Каждый мальчик пожал руку всем остальным мальчикам. При этом было сделано 15 рукопожатий. В этой же группе было еще и несколько девочек. Каждая в знак приветствия кивнула головой каждому мальчику и каждой девочке. Всего было сделано 84 кивка. Сколько было мальчиков?

Доказать, что среди любых 6 человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое незнакомых друг с другом. (Задача Рамсея.)
(6—... кл.)

Докажите, что не существует многогранника, имеющего нечётное число граней, любая грань которого имеет нечётное число сторон.

(уф, успел выложить за 30-е июля, так... о чем задачка? неа...я пас)

На верхушке дерева высотою в 60 локтей сидит мышка, а внизу на земле — кошка. Мышка каждый день сползает вниз на 1/2 локтя, а ночью она поднимается на 1/6 локтя. Кошка за день вползает вверх на 1 локоть, а за ночь она сползает на 1/4 локтя вниз. Дерево же каждый день вырастает на 1/4 локтя, а за ночь оно сокращается на 1/8 локтя. Когда кошка настигнет мышку и какой высоты за это время достигнет дерево?

"У одного фермера было большое поле в форме параллелограмма АВСD, на котором в некой точке О находился колодец. Чувствуя приближение смерти, фермер завещал сыну Петру два треугольных поля AОВ и ОСD, а всю остальную землю — сыну Павлу. Колодец же оставался их общей собственностью. Предположим, что АВ больше ВС. Который из двух братьев, по-вашему, получил в наследство больше земли?"

(типа — устно)