Дан квадрат размером 5 × 5, в котором записаны 25 чисел

Дан квадрат размером 5 × 5, в котором записаны 25 чисел. Выберем одно из чисел (произвольно), обведем его, а остальные числа, стоящие в том же столбце и в той же строке, зачеркнем. Затем выберем одно из оставшихся чисел, обведем его, а остальные числа в тех же строке и столбце зачеркнем. Так сделаем пять раз.
Возьмем сумму обведенных чисел. Оказывается, как бы мы ни выбирали числа, эта сумма всегда равна 56. Попробуйте разгадать это таинственное свойство приведенного квадрата.

На некотором острове необычайно регулярный климат: по понедельникам и средам всегда идут дожди, по субботам — туман, зато в остальные дни — солнечно. Утром какого дня недели нужно начать свой отдых группе туристов, если они хотят пробыть там 44 дня и захватить при этом как можно больше солнечных дней?

Даны две группы подряд расположенных натуральных чисел, в каждой по k чисел. При каких k эти группы чисел можно, изменив порядок, подписать одну под другой так, что, сложив стоящие друг под другом числа, мы получим снова k натуральных чисел, идущих подряд?
"изменив порядок" — внутри группы

Отрезок [0,1] произвольно разделили на несколько меньших отрезков и некоторые их них покрасили. Общая длина покрашенных отрезков больше 0.5 . Докажите, что на отрезке найдутся две окрашенные точки на расстоянии, равном 0.5 .
(6-...кл.)

1. Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью пустых трехлитрового и пятилитрового бидонов.
2. Квадратная таблица размером n × n заполнена неотрицательными числами так,
что как сумма чисел любой строки, так и сумма чисел любого столбца равна 1.
Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два
из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.
Н.Б. Васильев, М.И.Башмаков.

В каждую клетку таблицы 3 на 3 записали одно из чисел -1, 0 или 1, а затем нашли суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали. Докажите, что среди полученных чисел имеются равные.