Даны две группы подряд расположенных натуральных чисел

Даны две группы подряд расположенных натуральных чисел, в каждой по k чисел. При каких k эти группы чисел можно, изменив порядок, подписать одну под другой так, что, сложив стоящие друг под другом числа, мы получим снова k натуральных чисел, идущих подряд?
"изменив порядок" — внутри группы

В колонию, состоящую из n бактерий, попадает один вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию, затем длится на два новых вируса, и одновременно же каждая из оставшихся бактерий тоже делится на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожают две бактерии, и затем оба вируса и все оставшиеся бактерии снова делятся, и так далее. Будет ли эта колония жить бесконечно долго, или в конце концов погибнет?

Кузнецу принесли 5 обрывков цепи, по 3 звена в каждом обрывке, и заказали соединить их в одну цепь:
Прежде чем приняться за дело, кузнец стал думать, сколько колец понадобится для этого раскрыть и вновь заковать. Он решил, что придётся раскрыть и снова заковать четыре кольца.
Можно ли выполнить эту работу, раскрыв и заковав меньше колец?

Разместить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 по одному около вершин треугольника и около середин его сторон так, чтобы сумма трех чисел, расположенных около любой стороны, была одна и та же.

Дан квадрат размером 5 × 5, в котором записаны 25 чисел. Выберем одно из чисел (произвольно), обведем его, а остальные числа, стоящие в том же столбце и в той же строке, зачеркнем. Затем выберем одно из оставшихся чисел, обведем его, а остальные числа в тех же строке и столбце зачеркнем. Так сделаем пять раз.
Возьмем сумму обведенных чисел. Оказывается, как бы мы ни выбирали числа, эта сумма всегда равна 56. Попробуйте разгадать это таинственное свойство приведенного квадрата.

"а) На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один — по часовой стрелке, другой — против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном дереве.
б) А если чижей и деревьев n?"

Группа велосипедистов решила перед соревнованиями потренироваться на небольшой дороге. Все они едут со скоростью 35 км/ч. Затем один из велосипедистов внезапно отрывается от группы и, двигаясь со скоростью 45 км/ч, проходит 10 км, после чего поворачивает назад и, не сбавляя скорости, присоединяется к остальным (которые, не обращая на него внимания, продолжают двигаться с прежней скоростью). Сколько времени прошло с того момента, когда велосипедист оторвался от группы, до момента, когда он вновь присоединился к ней?