Яковлев Игорь Вячеславович

Ответ на «Уравнения высот»

Можно обойтись без нахождения уравнений сторон и координат ортоцентра.

1. Берём, например, вектор BC. Его координаты равны (-5,6).
2. Подбираем перпендикулярный ему: (6,5). Это направляющий вектор высоты, опущенной из точки А. Остаётся написать её каноническое уравнение.

Ответ на «В чем ошибка»

А — изучал первый, В — изучал второй, С — изучал третий. Утверждение "если изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что если изучал третий, то изучал и второй" равносильно ([m]\equiv[/m]):

[m](A\to B)\wedge\overline{(C\to B)}\equiv(\overline{A}\vee B)\wedge\overline{(\overline{C}\vee B)}\equiv(\overline{A}\vee B)\wedge(C\wedge\overline{B})\equiv(\overline{A}\wedge C\wedge\overline{B})\vee(B\wedge C\wedge\overline{B})\equiv[/m]
[m]\equiv(\overline{A}\wedge C\wedge\overline{B})\vee0\equiv\overline{A}\wedge C\wedge\overline{B}[/m].

Изучал только третий.

Вот вам в качестве упражнения забавный вопрос. Дано высказывание: "Если все летающие крокодилы живут в Москве, то некоторые летающие крокодилы живут в Москве". Оно истинно или ложно?

Ответ на «уравнение касательной плоскости и нормали»

Они одинаковые. Ваши уравнения имеют вид a=b=c, а мои получаются из ваших умножением на 2: 2a=2b=2c.

Ответ на «уравнение касательной плоскости и нормали»

Если интересно, то ваша задача легко решается без привлечения матанализа — методами одной лишь аналитической геометрии.

Выделяя полные квадраты, запишем уравнение поверхности в виде:

[m](x-2)^2+y^2+(z+3)^2=5[/m].

Это сфера с центром в точке [m]C(2,0,-3)[/m].

Искомой нормалью будет прямая [m]CM_0[/m] с направляющим вектором [m]\overrightarrow{CM_0}=(0,1,2)[/m]. Отсюда сразу получаем канонические уравнения нормали:

[m]\frac{x-2}{0}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}[/m].

Вектор [m]\overrightarrow{CM_0}[/m] является в то же время нормальным вектором касательной плоскости. Следовательно, уравнение этой плоскости будет иметь вид:

[m]0\cdot x+1\cdot y+2\cdot z+d=0[/m].

Свободный член [m]d[/m] находим, подставляя в данное уравнение координаты точки [m]M_0[/m]. Получим [m]d=1[/m], откуда искомое уравнение плоскости:

[m]y+2z+1=0[/m].

Ответ на «Задание по линалу»

Наш случай — именно такой, согласен. Но в общем — куда лучше проектировать — скорее от задачи зависит, а не от размерности. Пусть, например, есть пять ортогональных векторов девятимерного пространства, U — их пятимерная линейная оболочка, и нужно построить проекцию x на U. Тогда проще это сделать непосредственно, чем проектировать x на четырёхмерное ортогональное дополнение к U, базис которого ещё надо построить.

Ответ на «Задание по линалу»

Имея неортогональный базис, можно построить ортогональный с помощью процедуры ортогонализации Грама-Шмидта.

Ответ на «Задание по линалу»

1) Матрица оператора проектирования не обязана быть диагональной и состоять из нулей и единиц (вид матрицы оператора зависит от базиса, в котором эта матрица построена). Первая матрица из #3 удовлетворяет равенству P^2=P.

2) Разумеется, чтобы найти проекцию конкретного вектора x на подпространство U, не нужно строить матрицу. Если [m]e_1,\ldots,e_k[/m] --- ортогональный базис в U, то
[m]\operatorname{pr}_Ux=\sum_{i=1}^k\frac{(x,e_i)}{(e_i,e_i)}e_i[/m]

Ответ на «Задание по линалу»

О той матрице, о которой вы пишете в #3: "Я же нашел сначала ортогональную проекцию (4 2 0), а потом непосредственно нашел матрицу проектирования, вот она." Да, ваша матрица A переводит вектор (6 (-2) 4) в вектор (4 2 0), но возьмите какой-нибудь другой вектор x и посмотрите — будет ли его образ Ax ортогональной проекцией на данное подпространство. Поэкспериментируйте, вы же физик.

Ответ на «Задание по линалу»

Ваша матрица не может быть матрицей проектора, поскольку её квадрат ей не равен.

Ответ на «Теорема Пифагора»

Плохой учебник. Предъявленная вами формула озвучивается так: существует человек, который не курит или заболеет раком. А это совсем другое утверждение.