Яковлев Игорь Вячеславович

Ответ на «Задача С5»

Сказать нечего, так как приведённые условия нечитаемы.

Но в целом неясно, какое отношение имеют эти задачи к вопросу о числе корней или их сумме, который обсуждался выше. Ну, найти кратные корни многочлена... Берём и ищем :-)

Ответ на «Задача С5»

Борис Михайлович, я ведь уже ответил выше в #47. Задача содержит неопределённость и допускает оба ответа — в зависимости от того, как мы определяем понятие "число корней уравнения".

Если число корней — это мощность множества корней, то ваше решение не проходит. Если число корней — это мощность мультимножества корней (по ОТА), то ваше решение верно. Однозначного ответа "да" или "нет", повторяю, тут не существует, ибо можно отталкиваться от двух различных определений (из которых первое ничем не лучше и не хуже второго).

Появление таких задач на экзаменах для школьников можно объяснить только головотяпством составителей. Школьникам я лично советую в таких неприятных ситуациях делать оговорку: "считаем, что при D=0 уравнение имеет два совпадающих корня" и пускать решение по второму (вашему) каналу.

Ответ на «Задача С5»

В теореме 18 число n есть мощность мультимножества корней уравнения. А мощность множества корней может оказаться меньше. Например, для уравнения x^2=0 мощность мультимножества корней равна 2, а мощность множества корней равна 1.

Ответ на «Задача С5»

Спорить о том, верно или нет решение задачи из старт-поста (а=-3), бессмысленно до тех пор, пока нет чёткого указания --- какой структурой мы наделяем набор корней данного уравнения. Недоразумение возникает оттого, что смешиваются две структуры.

1. Набор корней является множеством. Множество корней уравнения (х-3)^2=0 --- это одноэлементное множество {3}.

2. Набор корней является мультимножеством (http://ru.wikipedia.org/wiki/Мультимножество). Мультимножество корней уравнения (х-3)^2=0 есть {3,3}.

Соответственно, понятие суммы корней уравнения (а также их квадратов и т. д.) начинает зависеть от выбранной структуры. Если фиксируется структура множества, то решение Корянова неверное, а если структура мультимножества — то верное.

Ответ на «Рыбачили три рыбака. Один проснулся, выкинул одну рыбку…»

Дираку. http://n-t.ru/ri/fz/fz607.htm

Ответ на «Логическая задача»

Я бы сосчитал число углов, равных 90 и 270 градусов. Внутри крепости первых будет больше, чем вторых. (Это легко доказать, зная, что сумма внутренних углов любого n-угольника равна 180(n-2) градусов.)

Ответ на «C4. Конкурс на самое изящное решение.»

Ну что ж, раз никто не пишет, я тогда допишу. Пусть [m]x_1,x_2,\ldots,x_{n-1}[/m] — n-сектрисы. Имеем:

[m]2S=ax_k\sin\frac{k\alpha}{n}+bx_k\sin\frac{(n-k)\alpha}{n}\quad(k=1,2,\ldots,n-1)[/m],

или [m]2S=x_ky_k[/m], где [m]y_k=a\sin\frac{k\alpha}{n}+b\sin\frac{(n-k)\alpha}{n}[/m]. Отсюда

[m]x_1:x_2:\ldots:x_{n-1}=\frac{1}{y_1}:\frac{1}{y_2}:\ldots:\frac{1}{y_{n-1}}[/m].

Ответ на «C4. Конкурс на самое изящное решение.»

Ну будем надеяться, что ресурс изящности не исчерпан ;-) Вдруг кто-нибудь из читателей форума найдёт дополнительные построения, подобные треугольники и т. д., откуда сразу будет следовать данное соотношение...

Ответ на «C4. Конкурс на самое изящное решение.»

Ну или, сокращая на синус,

[m]\frac{x}{y}=\frac{b+2a\cos\frac{\alpha}{3}}{a+2b\cos\frac{\alpha}{3}}.[/m]

Ответ на «C4. Конкурс на самое изящное решение.»

Без ограничения общности можно считать, что длины сторон равны a и b. Пусть x и y — длины указанных отрезков (если идти от a к b). Для площади S данного треугольника имеем:

[m]2S=ay\sin\frac{2\alpha}{3}+by\sin\frac{\alpha}{3},\quad 2S=ax\sin\frac{\alpha}{3}+bx\sin\frac{2\alpha}{3}.[/m]

Приравнивая, находим:

[m]\frac{x}{y}=\frac{a\sin\frac{2\alpha}{3}+b\sin\frac{\alpha}{3}}{a\sin\frac{\alpha}{3}+b\sin\frac{2\alpha}{3}}.[/m]