👍 +3 👎 |
C4. Конкурс на самое изящное решение.В треугольнике дан угол α. Отношение сторон, прилежащих к нему, равно a:b. Найти отношение двух отрезков, заключенных внутри треугольника, исходящих из этого угла и делящих этот угол на три равные части.
математика обучение
Вуль Владислав Аркадьевич
|
👍 0 👎 |
Пусть треугольник ABC, точки D, E, угол A=α, AB=a, AC=b
Тогда BD/DC=(sin (α/3)*AD/sin B)/(sin(2α/3)*AD/sin C) = a/b * sin(α/3)/sin(2α/3) Отсюда DC/BC=2bcos(α/3)/(a+2bcos(α/3)) Отсюда квадрат длины вектора AD есть (2bcos(α/3)a)^2/(a+2bcos(α/3))^2 + (ab)^2/(a+2bcos(α/3))^2+2ab cos α (a^2 b^2 2 cos α/3)/(a+2b cos(α/3))^2 = a^2 b^2/ (a+2b cos(α/3))^2 (4b^2 cos^2 (α/3)+ a^2 + 2 ab cos α cos(α/3)) Отсюда ответ: [m]AD/AE = \frac{b+2a cos (α/3)}{a+2b cos(α/3)} \frac{ 4b^2 cos^2 (α/3) + a^2 + 2ab cos α cos (α/3)}{4a^2 cos^2 (α/3) + b^2 + 2ab cos α cos (α/3)} [/m] |
👍 +5 👎 |
Без ограничения общности можно считать, что длины сторон равны a и b. Пусть x и y — длины указанных отрезков (если идти от a к b). Для площади S данного треугольника имеем:
[m]2S=ay\sin\frac{2\alpha}{3}+by\sin\frac{\alpha}{3},\quad 2S=ax\sin\frac{\alpha}{3}+bx\sin\frac{2\alpha}{3}.[/m] Приравнивая, находим: [m]\frac{x}{y}=\frac{a\sin\frac{2\alpha}{3}+b\sin\frac{\alpha}{3}}{a\sin\frac{\alpha}{3}+b\sin\frac{2\alpha}{3}}.[/m] |
👍 +3 👎 |
Ну или, сокращая на синус,
[m]\frac{x}{y}=\frac{b+2a\cos\frac{\alpha}{3}}{a+2b\cos\frac{\alpha}{3}}.[/m] |
👍 0 👎 |
В точку, Игорь Вячеславович!
Только зачем же так быстро!? Я же специально на открытый форум повесил. |
👍 0 👎 |
Ну будем надеяться, что ресурс изящности не исчерпан ;-) Вдруг кто-нибудь из читателей форума найдёт дополнительные построения, подобные треугольники и т. д., откуда сразу будет следовать данное соотношение...
|
👍 0 👎 |
Боюсь, что лучшего никто не найдет. Но у меня есть продолжение.
|
👍 +1 👎 |
С задачей об отношении трисектрис разобрались, а теперь попробуем разобраться с отношением n-сектрис (отрезков, разделяющих угол на n равных частей).
|
👍 +3 👎 |
Ну что ж, раз никто не пишет, я тогда допишу. Пусть [m]x_1,x_2,\ldots,x_{n-1}[/m] — n-сектрисы. Имеем:
[m]2S=ax_k\sin\frac{k\alpha}{n}+bx_k\sin\frac{(n-k)\alpha}{n}\quad(k=1,2,\ldots,n-1)[/m], или [m]2S=x_ky_k[/m], где [m]y_k=a\sin\frac{k\alpha}{n}+b\sin\frac{(n-k)\alpha}{n}[/m]. Отсюда [m]x_1:x_2:\ldots:x_{n-1}=\frac{1}{y_1}:\frac{1}{y_2}:\ldots:\frac{1}{y_{n-1}}[/m]. |
👍 +3 👎 |
Добавить нечего, различия с моим только в обозначениях.
Спасибо за участие. |
👍 −1 👎 |
C4 ЕГЭ
|
👍 0 👎 |
Геометрия
|
👍 0 👎 |
Помагите пожалуйста
|
👍 0 👎 |
C4
|
👍 +1 👎 |
C4. Найти угол.
|
👍 +3 👎 |
C4+C6.
|