C4. Конкурс на самое изящное решение.

В треугольнике дан угол α. Отношение сторон, прилежащих к нему, равно a:b. Найти отношение двух отрезков, заключенных внутри треугольника, исходящих из этого угла и делящих этот угол на три равные части.

Пусть треугольник ABC, точки D, E, угол A=α, AB=a, AC=b
Тогда
BD/DC=(sin (α/3)*AD/sin B)/(sin(2α/3)*AD/sin C) = a/b * sin(α/3)/sin(2α/3)
Отсюда
DC/BC=2bcos(α/3)/(a+2bcos(α/3))
Отсюда квадрат длины вектора AD есть
(2bcos(α/3)a)^2/(a+2bcos(α/3))^2 + (ab)^2/(a+2bcos(α/3))^2+2ab cos α (a^2 b^2 2 cos α/3)/(a+2b cos(α/3))^2 = a^2 b^2/ (a+2b cos(α/3))^2 (4b^2 cos^2 (α/3)+ a^2 + 2 ab cos α cos(α/3))
Отсюда ответ:
[m]AD/AE = \frac{b+2a cos (α/3)}{a+2b cos(α/3)} \frac{ 4b^2 cos^2 (α/3) + a^2 + 2ab cos α cos (α/3)}{4a^2 cos^2 (α/3) + b^2 + 2ab cos α cos (α/3)}
[/m]

Без ограничения общности можно считать, что длины сторон равны a и b. Пусть x и y — длины указанных отрезков (если идти от a к b). Для площади S данного треугольника имеем:

[m]2S=ay\sin\frac{2\alpha}{3}+by\sin\frac{\alpha}{3},\quad 2S=ax\sin\frac{\alpha}{3}+bx\sin\frac{2\alpha}{3}.[/m]

Приравнивая, находим:

[m]\frac{x}{y}=\frac{a\sin\frac{2\alpha}{3}+b\sin\frac{\alpha}{3}}{a\sin\frac{\alpha}{3}+b\sin\frac{2\alpha}{3}}.[/m]

Ну или, сокращая на синус,

[m]\frac{x}{y}=\frac{b+2a\cos\frac{\alpha}{3}}{a+2b\cos\frac{\alpha}{3}}.[/m]

В точку, Игорь Вячеславович!
Только зачем же так быстро!? Я же специально на открытый форум повесил. :-)

Ну будем надеяться, что ресурс изящности не исчерпан ;-) Вдруг кто-нибудь из читателей форума найдёт дополнительные построения, подобные треугольники и т. д., откуда сразу будет следовать данное соотношение...

Боюсь, что лучшего никто не найдет. Но у меня есть продолжение. :-)

С задачей об отношении трисектрис разобрались, а теперь попробуем разобраться с отношением n-сектрис (отрезков, разделяющих угол на n равных частей).

Ну что ж, раз никто не пишет, я тогда допишу. Пусть [m]x_1,x_2,\ldots,x_{n-1}[/m] — n-сектрисы. Имеем:

[m]2S=ax_k\sin\frac{k\alpha}{n}+bx_k\sin\frac{(n-k)\alpha}{n}\quad(k=1,2,\ldots,n-1)[/m],

или [m]2S=x_ky_k[/m], где [m]y_k=a\sin\frac{k\alpha}{n}+b\sin\frac{(n-k)\alpha}{n}[/m]. Отсюда

[m]x_1:x_2:\ldots:x_{n-1}=\frac{1}{y_1}:\frac{1}{y_2}:\ldots:\frac{1}{y_{n-1}}[/m].

Добавить нечего, различия с моим только в обозначениях. :-)
Спасибо за участие.

Треугольник MNP вписан в окружность радиуса 111/3 (111 под корнем). Найдите MP, если MN=4, NP=3

Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.
У нас конкурс на самое лучшее решение этой задачи.

дан квадрат ABCD. На отрезках АС и ВС, соответственно взяты точки M и N, не совпадающие с концами отрезков. Найдите величину угла MDN, если известно что MN = MD

Посоветуйте, как лучше готовиться к задачам ЕГЭ С4. С2 научился решать координатным методом( с помощью преподавателя). А в С4 нет одного подхода. Может, по фигурам или по другому принципу.??

В треугольнике ABC точка H является ортоцентром. Точка M — середина высоты [m]CC_1[/m], [m]CH:HC_1=3:1[/m]. Найти угол AMB.

В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и CA соответственно взяли точки P, Q и R так, что AP:PB=BQ:QC=CR:RA=n, где n — натуральное число. AQ пересекается с BR в точке K, BR с CP — в точке L, CP с AQ — в точке M. Найти все значения n, при которых отношение площади треугольника ABC к площади треугольника KLM выражается натуральным числом.