Задача из Контрольной работы. Хотел бы узнать как решается.

За круглым столом сидят 5 Артёмов, 4 Полины, 3 Елизаветы и 2 Никиты. При этом никакие два тёзки не сидят рядом. Докажите, что кто-то сидит между двумя тёзками.

Пронумеруем места за столом, причём так, что за номер 1 возьмём то место, на котором располагается любой Артём. Тогда место с номером 2 Артём занимать не может, это противоречит условию задачи. Если следующий Артём занимает место с номером три, то будет кто-то, кто сидит на месте два, то есть сидит на месте между двумя тёзками, и доказательство завершено.

Пусть тогда второй Артём занимает место с номером 4. Повторяя предыдущие рассуждения, приходим к выводу, что следующий Артём располагается на месте с номером 7, а потом 10, т.е. любой из Артёмов занимает место с номером nA=1+3k, где k — номер Артёма.

Однако мест всего 12, а Артёмов 5. Следовательно, должно быть выполнено условие: 1<=3k-2=12, то есть 1<=k<=14/3. Получается, что так можно разместить только четверых Артёмов.

В том случае, если между Артёмами промежуток больший, чем 2 места, то неравенство имеет вид 1<=3k-2+pk=12, где число pk для всех номеров k, больших, чем 1, больше нуля. Тогда условие 1<=k=(14-pk)/3 приводит к выводу, что разместить таким образом можно только 4-х Артёмов или меньше.

Всего за столом сидит 14 человек.
Воспользуемся методом от противного, то есть предположим, что никто не сидит между двумя тёзками.
Возьмём любого из Артёмов и обозначим его место номером 1, а все остальные места (от 2 до 14) занумеруем, например, по часовой стрелке.
Два Артёма не могут сидеть рядом, поэтому на месте 2 сидит не Артём. На месте 3 также сидит не Артём (иначе бы человек на месте 2 сидел бы между двумя Артёмами). Таким образом, очередной Артём может встретиться не ранее места с номером 4. Также отметим, что между любым Артёмом и следующим за ним Артёмом должно быть минимум два свободных места.
Предположим, что следующий Артём сидит не на четвёртом месте, тогда имеем:
второй Артём сидит минимум на пятом месте,
третий — минимум на восьмом,
четвёртый — минимум на 11-м,
пятый — ровно на 14-м (это последний номер), но это невозможно, так как в таком случае он соседствовал бы с Артёмом, сидящим на месте 1 (стол круглый).
Значит, второй Артём сидит ровно на месте 4.
Рассуждая аналогичным образом, найдём, что третий Артём обязан сидеть на месте 7, четвёртый — на месте 10, пятый — на месте 13. Но в этом случае человек, сидящий на месте 14, окажется между тёзками (Артёмом с места 14 и Артёмом с места 1), что противоречит нашему предположению.
Следовательно наше предположение неверно, а значит существует хотя бы человек, сидящий между двумя тёзками.

Если рассадить по кругу Артёмов, то между ними будет 5 промежутков. Чтобы кто-то не оказался между двумя Артёмами, надо чтобы в этих промежутках находились 2 человека. То есть надо 5*2 = 10 человек. А у нас по условию есть 4+3+2 = 9 человек. Следовательно кто-то один обязательно окажется между двумя Артёмами.

За круглым столом через равные промежутки сидят 20 человек, каждый из которых рыцарь или лжец. Каждый из них сказал: «Человек напротив меня и оба его соседа — лжецы». Какое наибольшее количество рыцарей может быть за столом?

За круглым столом сидели 99 человек, все разного роста. Каждый честно ответил на два вопроса:
1. «Вы выше, чем ваш сосед справа?»
2. «Вы выше, чем оба ваших соседа — справа и слева?».
Какое наибольшее количество ответов «Да» могло быть дано?

2. За круглым столом сидели 99 человек, все разного роста. Каждый честно ответил на два вопроса:
1. «Вы выше, чем ваш сосед справа?»
2. «Вы выше, чем оба ваших соседа — справа и слева?».
Какое наибольшее количество ответов «Да» могло быть дано?