Всего за столом сидит 14 человек.
Воспользуемся методом от противного, то есть предположим, что никто не сидит между двумя тёзками.
Возьмём любого из Артёмов и обозначим его место номером 1, а все остальные места (от 2 до 14) занумеруем, например, по часовой стрелке.
Два Артёма не могут сидеть рядом, поэтому на месте 2 сидит не Артём. На месте 3 также сидит не Артём (иначе бы человек на месте 2 сидел бы между двумя Артёмами). Таким образом, очередной Артём может встретиться не ранее места с номером 4. Также отметим, что между любым Артёмом и следующим за ним Артёмом должно быть минимум два свободных места.
Предположим, что следующий Артём сидит не на четвёртом месте, тогда имеем:
второй Артём сидит минимум на пятом месте,
третий — минимум на восьмом,
четвёртый — минимум на 11-м,
пятый — ровно на 14-м (это последний номер), но это невозможно, так как в таком случае он соседствовал бы с Артёмом, сидящим на месте 1 (стол круглый).
Значит, второй Артём сидит ровно на месте 4.
Рассуждая аналогичным образом, найдём, что третий Артём обязан сидеть на месте 7, четвёртый — на месте 10, пятый — на месте 13. Но в этом случае человек, сидящий на месте 14, окажется между тёзками (Артёмом с места 14 и Артёмом с места 1), что противоречит нашему предположению.
Следовательно наше предположение неверно, а значит существует хотя бы человек, сидящий между двумя тёзками.
