В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью

В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.

Любите Вы людей пугать. Спросили бы лучше построить прямоугольный треугольник максимальной площади с заданной гипотенузой.

Некоторые грани выпуклого многогранника покрашены так, что никакие две покрашенные грани не имеют общего ребра. Докажите, что в этот многогранник нельзя вписать шар, если а) покрашенных граней больше половины; б) сумма площадей покрашенных граней больше суммы площадей непокрашенных граней.
Н.Б. Васильев, М.И.Башмаков.

В данный конус вписать цилиндр наибольшего объема.

"Сторона клетки на шахматной доске 4 см. Чему равен радиус наибольшей окружности, которую можно провести на шахматной доске так, чтобы она проходила только по черным клеткам?"

"В данный круг вписать прямоугольник наибольшей площади."

(ну, чего-то совсем скучно... посмотрим что в Квантах про окружность...)

"Четыре круга, центры которых — вершины выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
Г.А. Гальперин."

"Обвяжите совершенно круглый апельсин красной веревкой. Затем удлините веревку так, чтобы она опоясала апельсин, проходя на расстоянии 1 м от его поверхности. Теперь обвяжите Землю (мы считаем ее сферической) синей веревкой и удлините эту веревку так, чтобы она опоясала Землю, проходя над поверхностью Земли на расстоянии 1м. Какую из веревок, по вашему мнению, пришлось удлинить на большую величину — красную или синюю?"

(ну, понятно, что задача даже и не устная, просто ответ интересен как факт)