Некоторые грани выпуклого многогранника покрашены так

Некоторые грани выпуклого многогранника покрашены так, что никакие две покрашенные грани не имеют общего ребра. Докажите, что в этот многогранник нельзя вписать шар, если а) покрашенных граней больше половины; б) сумма площадей покрашенных граней больше суммы площадей непокрашенных граней.
Н.Б. Васильев, М.И.Башмаков.

Есть большая область, раскрашенная в 2 цвета — черный и белый. Доказать, что существуют две точки, расположенные на расстоянии 1,
а) покрашенные в один цвет,
б) покрашенные в разные цвета

Отрезок [0,1] произвольно разделили на несколько меньших отрезков и некоторые их них покрасили. Общая длина покрашенных отрезков больше 0.5 . Докажите, что на отрезке найдутся две окрашенные точки на расстоянии, равном 0.5 .
(6-...кл.)

Доказать, что как бы ни было велико число [m]N[/m], можно построить систему не перекрывающихся кругов внутри квадрата и таких, что сумма длин их будет больше [m]N[/m], а сумма их площадей меньше [m]\frac{1}{{N}^{2}}[/m].

И на закуску:

1. Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью пустых трехлитрового и пятилитрового бидонов.
2. Квадратная таблица размером n × n заполнена неотрицательными числами так,
что как сумма чисел любой строки, так и сумма чисел любого столбца равна 1.
Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два
из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.
Н.Б. Васильев, М.И.Башмаков.

Докажите, что не существует многогранника, имеющего нечётное число граней, любая грань которого имеет нечётное число сторон.

(уф, успел выложить за 30-е июля, так... о чем задачка? неа...я пас)