Уравнение с модулями.

Попалось мне занятное уравнение из заочной олимпиады Бауманского, надеюсь и вам понравится. :-)

Приведите пример алгебраического уравнения минимальной степени, не содержащего модули, но равносильного следующему уравнению с модулями:
[m]\left|6x^4-40x^2+40x-7\right|+x^2\left|x^4-13x^2+41\right|=7-40x-x^4[/m].

[m]x=0[/m]

понраивлось...

Пока не достаточно сильно, попробуйте еще. ;-)

Надеюсь, надо над R :)
Заметим, что [m]6x^4-40x^2+40x-7=-(7-40x-x^4)+(5x^4-40x^2)[/m]
В силу условия решения у исходного уравнения есть только при [m]7-40x-x^4\geq 0[/m]
Отсюда [m]5x^4-40x^2\leq 0[/m]
Решение x=0 откладываем в копилку, при остальных x решение есть тогда и только тогда, когда [m]5x^2-40 \geq 0, 7-40x-x^4\geq 0[/m] и либо
[m]x^4-13x^2+41 — 5x^2+40=x^4-18x^2+81=(x^2-9)^2=0,[/m]
либо
[m]x^4-13x^2+41 + 5x^2-40 = x^4-8x^2+1=0[/m]
У первого уравнения нам подходит только -3.
У второго все корни отметаются неравенством [m]x^2\geq 8[/m]

Отсюда [m]x(x+3)[/m]

В неравенстве [m]5x^4-40x^2\leq 0[/m], конечно, описка со знаком.
Чтобы первый же модуль не стал больше всей правой части надо, чтобы знаки были разные.

В целом все так, придраться не к чему.
Но я вечерком, когда освобожусь, привнесу в решение нотки изящества, если никто этого не успеет сделать за меня. :-)

Ну можно сделать поизящнее. Запишем исходное соотношение в виде
[m]|(7-40x-x^4)-5x^4-40x^2|+|x^2 (x^2-9)^2+5x^4-40x^2|=7-40x-x^4[/m]
Модуль суммы меньше либо равен суммы модулей, откуда сразу имеем
[m]x^2 (x^2-9)\leq 0[/m],
откуда и решения сразу следует.

Знак в первом модуле перед 40x^2 другой, ессно.

В точку! ;-)

Еще и квадрат в последнем неравенстве над (x^2-9) потерял :( Что-то я небрежно набираю :)

1) Владислав Аркадьевич, славные задачки Вы помещаете! Спасибо.
2) Александр Викторович, Вы, как всегда, на высоте. Мехмат есть мехмат! :)

Отрывок из учебника "f и g — постоянные отображения из X в X, т.е. значения f(x) и g(x) не зависят от x. Тогда f ≠ g => f○g ≠ g○f" (композиция двух отображений)

Вопрос: что такое "постоянные отображения, не зависящие от x"? Если возможно, то приведите пример, пожалуйста.
Заранее спасибо.

На https://ask.profi.ru/q/na-tablo-privedeno-vernoe-matematicheskoe-42935/#n18:
Виктор Евгеньевич, если Вы не против, давайте Вашу задачку предложим нашим школьникам, надеюсь, понравится:
"Дан квадрат со стороной 1. Из каждой вершины в квадрате проведена окружность радиуса 1. Найти площадь общей части этих окружностей."

|2x+7|*SinX — (x+2)*|SinX| = 0
подкиньте идеи пожалуйста.. В лоб не получается решить, не могу раскрыть модули по определению. Первый модуль обращается в нуль при x = -7/2.
Тогда, если рассматривать случай X < -7/2, не ясно какой будет иметь знак |SinX| — функция периодична.
спасибо.