СПРОСИ ПРОФИ
👍
0
👎 030

Неравенства с модулями

у меня есть вопрос по неравенствам с модулями. когда решаешь неравенства с модулями, рассматриваешь разные возможные случаи.

например: |x + 2| + |x — 2| >= 0 (>= — это "больше или равно")

буду три случая:
1) x < -2;
2) -2 =< X < 2;
3) x >= 2;

вот рассматривая каждые случаи нужно ставить знак модуля в соответствии с условием. например:

первый случай:
x < -2:
-(x+2) — (x-2) >= 0

ну и далее решаем и находим корни. так вот, мне не понятно в каких случаях будет Совокупность, а в каких Система?!

вот тот случай что мы рассматрели
x < -2:
-(x+2) — (x-2) >= 0
-- это совокупность или система? если совокупность, то почему?
математика обучение     #1 ⇒   14 дек 2011 15:14   Увидели: 74 клиента, 9 специалистов   Ответить
👍
+1
👎 1
Система обозначает, что условия в ней должны выполняться одновременно. Совокупность означает, что должно выполниться хотя бы одно из условий. Если рассмотреть Ваш пример, то мы получим: при x < -2 выполняется -(x+2) — (x-2) >= 0. А при других х данное неравенство не верно, так? Значит, нам необходимо одновременное выполнение условий:

x < -2:
-(x+2) — (x-2) >= 0

Т.е. это система.
  ⇐ #2 ⇒   14 дек 2011 16:09   Ответить
👍
+4
👎 4
Отрицательных модулей не бывает, стало быть, их сумма тем более не может быть отрицательной.

Поэтому при решении приведенной в START-POST задачи не нужны ни системы, ни совокупности, а только лишь определение модуля.
  ⇐ #3 ⇒   14 дек 2011 19:56   Ответить
👍
0
👎 0
ох сорри. в стартапе небольшая ошибочка в выражение. но на заданный вопрос она вроде как не влияет.
было: |x + 2| + |x — 2| >= 0

а на самом деле |x + 2| + |x — 2| >= 2
  ⇐ #4 ⇒   14 дек 2011 23:19   Ответить
👍
+1
👎 1
вообще-то |x + 2| + |x — 2| >= 4 при любом х
рассмотрите модули как расстояния от точки х до точек -2 и 2.
  ⇐ #5 ⇒   15 дек 2011 00:27   Ответить
👍
+1
👎 1
ну, технически я модули решать более-менее умею. вопрос был в стартапе, на него Евгения Сергеевна ответила и я вроде как понял. но если будут вопросы, сюда задам.
всем спасибо.
p.s. Евгения Сергеевна, с меня пряники.
  ⇐ #6 ⇒   15 дек 2011 00:36   Ответить
👍
0
👎 0
еще вопросы вылезли:

|x+3| < 4
как я понимаю есть два метода решения.
первый метод:

|x+3| < 4
совокупность:
x+3 < 4
x+3 > -4
<=>
x < 1
x > -7

Ответ: (-бесконечность, 1) U (-7,+бесконечность).

2 метод (рассмотреть все случаи):
|x+3| < 4

система:
1) x < -3
-(x+3) < 4

x < -3
-x < 7

x < -3
x > -7

(-7;-3)

второй случай(система):
2) x >= -3
x+3 < 4

x >= -3
x < 1

[-3; 1)

объединяем два случая:
1) (-7;-3)
2) [-3; 1)

Ответ: (-7;1)


я решил одно неравенство двумя методами, а ответы получились разные. где у меня ошибка?
  ⇐ #7 ⇒   16 дек 2011 12:53   Ответить
👍
+1
👎 1
Посмотрите внимательно на ответы в первом способе решения.
Х<1
X>-7

Обозначьте их на числовой оси и посмотрите, где они пересекаются. И поймете, почему у Вас разные ответы получились.
  ⇐ #14 ⇒   17 дек 2011 12:51   Ответить
👍
0
👎 0
пардон, в первом методе ответ не "Ответ: (-бесконечность, 1) U (-7,+бесконечность).", а вот так:
Ответ: (-бесконечность; +бесконечность)
  ⇐ #8 ⇒   16 дек 2011 13:38   Ответить
👍
0
👎 0
только что-то это какой то бред.. как Х может быть любым числом?.. судя по графику такого быть вроде как не может
  ⇐ #9 ⇒   16 дек 2011 13:43   Ответить
👍
+2
👎 2
Еще чуть-чуть, и Вы сами до всего догадаетесь, а это будет намного полезней, чем кто-то Вам подскажет. ;-)
  ⇐ #10 ⇒   16 дек 2011 13:50   Ответить
👍
0
👎 0
вот как мне было объяснено:
|x+3| < 4
  ⇐ #11 ⇒   17 дек 2011 11:08   Ответить
👍
0
👎 0
вот как мне было объяснено:
|x+3| < 4

если знак > — это совокупность.
если знак < — это система.
я не могу этого понять. по определению модуля может быть два случая:

либо (x+3) < 4
либо -(x+3) < 4 → *(-1) → x+3 > -4

это должна быть совокупность. ведь это две возможности. Логическое ИЛИ. т.е. подмодульное выражение может быть Либо неотрицательно, Либо неположительно. Либо, Либо. → Или. так откуда же там система то?
  ⇐ #12 ⇒   17 дек 2011 11:12   Ответить
👍
0
👎 0
и еще один момент, мне сказали что неравенство
|x+3| < 4

x+3 < 4
x+3 > -4

таким методом это неравенство можно решать только если справа — число. т.е. только в том случаи, если 4 не зависит от Х. это верно?..
  ⇐ #13 ⇒   17 дек 2011 12:50   Ответить
👍
0
👎 0
"если 4 не зависит от Х"
А как это 4 может зависеть от Х?
  ⇐ #15 ⇒   17 дек 2011 13:28   Ответить
👍
0
👎 0
я неправильно выразился.
число, которое должно быть на месте "4" в выражение |x+3| < 4
не должно зависеть от Х. вроде так.
  ⇐ #16 ⇒   17 дек 2011 13:36   Ответить
👍
0
👎 0
Час от часу не легче.
|x+3| < 4 — это неравенство, а не выражение.

Очень важно научиться разговаривать языком математики.
  ⇐ #17 ⇒   17 дек 2011 13:39   Ответить
👍
0
👎 0
ну да. по бокам от знака — выражения.
а вы можете ответить на мои вопросы? :)
  ⇐ #18 ⇒   17 дек 2011 13:47   Ответить
👍
0
👎 0
Для этого Ваши вопросы нужно хотя бы полностью понять. :)
  ⇐ #19 ⇒   17 дек 2011 14:01   Ответить
👍
0
👎 0
вот как мне было объяснено:
|x+3| < 4

если знак > — это совокупность.
если знак < — это система.
я не могу этого понять. по определению модуля может быть два случая:

либо (x+3) < 4
либо -(x+3) < 4 → *(-1) → x+3 > -4

это должна быть совокупность. ведь это две возможности. Логическое ИЛИ. т.е. подмодульное выражение может быть Либо неотрицательно, Либо неположительно. Либо, Либо. → Или. так откуда же там система то?

ну вот, цитата. вроде все понятно.
  ⇐ #20 ⇒   17 дек 2011 14:06   Ответить
👍
0
👎 0
Вы правильно сказали, что по определению модуля должно быть два случая.

1) система из двух неравенств:
x+3 > 0
x+3 < 4

2) система из двух неравенств:
x+3 < 0
x+3 >-4
  ⇐ #21 ⇒   17 дек 2011 15:06   Ответить
👍
0
👎 0
Я уже писал, что отрицательных модулей не бывает. Поэтому неравенство

!х+3!<4

можно спокойно квадрировать :

(х-3)^2<4^2 ; (x-3-4)(x-3+4)<0; (x+1)(x-7)<0.

и ответ очевиден.

В принципе, тождество

!x!=(x^2)^(1/2)

следует всегда иметь в виду, так как изложенный способ является ОСНОВНЫМ при решении заданий типа

!F(x)!=/</>!G(x)!
  ⇐ #22 ⇒   17 дек 2011 18:31   Ответить
👍
0
👎 0
Игорь Владимирович!
1. У Вас случайная ошибка: Вы решали !х-3!<4, написав, что решаете !х+3!<4.
2. У меня сложилось впечатление, что вопрос был не в том, как лучше решать, а в том, как понимать то, что кто-то там сказал по поводу решения !х+3!<4.
  ⇐ #23 ⇒   17 дек 2011 19:09   Ответить
👍
0
👎 0
1. Спасибо за Вашу внимательность и извините мою невнимательность.

2. #7 начинался со слов "Как я понимаю, есть два метода решения..." . А как я понимаю, три, причем именно третий — основной. Попробуйте, скажем, решить иным способом задачу

|2x^2+18x+39|>|2x^2+2x-63|,

и все становится понятно. Мне представляется, что наша обязанность — устранять пробелы в знаниях учеников, которым не повезло с хорошими учителями.
  ⇐ #25 ⇒   17 дек 2011 19:36   Ответить
👍
0
👎 0
"Мне представляется, что наша обязанность — устранять пробелы в знаниях учеников, которым не повезло с хорошими учителями".

Было бы хорошо, но боюсь, Игорь Владимирович, что в рамках этого форума подобное удастся не очень часто. Не тот формат общения.
  ⇐ #28 ⇒   17 дек 2011 20:48   Ответить
👍
0
👎 0
1. Вспомним геометрический смысл модуля. Неравенству удовлетворяют такие Х, которые удалены от точки 3 на расстояние, меньшее 4. Получим -1<X<7. Поэтому в данном случае, решая первым способом, вы получите систему. Если бы вы решали неравенство !x+3!>4, то ему удовлетворяют такие Х, которые удалены от точки 3 на расстояние, большее 4. Получим X<-1 или X>7. Поэтому, решая первым способом, вы получите совокупность.

2. Второй вопрос. С правой стороны может стоять не только число, но и выражение, которое зависит от Х. В этом случае описанный Вами способ решения также можно применять.
  ⇐ #24 ⇒   17 дек 2011 19:26   Ответить
👍
0
👎 0
да я уже вроде до всего сам допенькал.большое спасибо.
  ⇐ #26 ⇒   17 дек 2011 20:28   Ответить
👍
+1
👎 1
А вот это и есть главная задача репетитора — чтобы ученик сам додумался до решения, сам пришел к ответу на вопрос.
  ⇐ #27 ⇒   17 дек 2011 20:44   Ответить
👍
0
👎 0
Когда говорят о системе уравнений, неравенств или каких-либо иных условий
(и на письме обозначают это с помощью одной фигурной скобки), то имеют
в виду, что должны выполняться одновременно все эти условия.
В логике для этого есть специальный термин — конъюнкция условий.

Когда говорят о совокупности уравнений, неравенств, или каких-либо иных
условий (и на письме обозначают это с помощью одной квадратной скобки),
то имеют в виду, что должно выполняться хотя бы одно из этих условий.
В логике для этого есть специальный термин — дизъюнкция условий.

С точки зрения русского языка (не математического) слова "система"
и "совокупность" являются, в какой-то степени, синонимами.
Поэтому одновременное употребление их в математике в разных смыслах
не является удачным. Но слово "система" уже прижилось очень прочно.
А вот слово "совокупность" в указанном выше смысле употребляется редко.

Поэтому я предлагаю, пока не поздно, вместо "совокупность уравнений"
или "совокупность неравенств" говорить "дизъюнкция уравнений",
"дизъюнкция неравенств".
  ⇐ #29 ⇒   18 дек 2011 05:41   Ответить
👍
+2
👎 2
Несомненно, это разом решило бы все проблемы топик-стартера. :-D
  ⇐ #30 ⇒   18 дек 2011 10:58   Ответить
👍
+1
👎 1
надо будет попробовать. перед преподом эффект, наверное, будет непередаваемый!)
  ⇐ #31   18 дек 2011 15:25   Ответить

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

● Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 04

Уравнение с условием   4 ответа

Решить уравнение в натуральных числах
x+y=97 при условии
[m]25x-5y\to \underset{x,y}{\mathop{\min }}\,[/m]
  06 ноя 2016 09:09  
👍
0
👎 02

Поставить знаки вместо *   2 ответа

Можно ли поставить знаки действий вместо звёздочек в выражении (1/2)*(2/3)*(3/4)*...*(99/100) так чтобы получился 0? Скобки ставить нельзя.

Думали с ребенком 7 класса, думали и не додумались.( Со скобками выходит очень просто, а без них — никак.(
  07 мар 2016 08:39  
👍
0
👎 05

Неравенство с параметром   5 ответов

Изучаем задачи с параметром. 9 класс. Задача. При каких а неравенство имеет решения. Я сделал, но сомневаюсь. Делал тупо, рассматривал два случая раскрытия модуля, но решение какое-то темное. Наверное, есть простое решение.
  07 апр 2014 15:15  
👍
0
👎 03

Один молодой человек живёт в Манхэттене возле станции метро   3 ответа

Один молодой человек живёт в Манхэттене возле станции метро. У него есть две знакомые девушки. Одна из них живёт в Бруклине, вторая — в Бронксе. Когда он едет к девушке из Бруклина, то садится в поезд, подходящий к платформе со стороны центра города. Когда же он едет к девушке из Бронкса, то садится в поезд, идущий в центр. Поскольку обе девушки нравятся ему одинаково, он просто садится в тот поезд, который приходит первым. Таким образом, в выборе,…

  11 апр 2013 10:03  
👍
0
👎 02

Дробное неравенство с радикалом   2 ответа

sqrt[x+5] / (1-x) < 1

можно ли это неравенство умножить на 1-х? 1-х — числитель, значит не может быть равен нулю. значит, по идеи, можно.

умножив неравенство, получаем sqrt[x+5} < 1-x
это неравенство эквивалентно системе:
x+5 < (1-x)^2
x+5 >= 0
1-x > 0

решая эту систему, находим корни. правда, не все.

а если решать по другому, через метод интервалов(из исходного неравенства перекинуть все в…
  22 сен 2012 15:14  
👍
0
👎 05

Тригонометрия с модулями.   5 ответов

|2x+7|*SinX — (x+2)*|SinX| = 0
подкиньте идеи пожалуйста.. В лоб не получается решить, не могу раскрыть модули по определению. Первый модуль обращается в нуль при x = -7/2.
Тогда, если рассматривать случай X < -7/2, не ясно какой будет иметь знак |SinX| — функция периодична.
спасибо.
  28 апр 2012 14:50  
ASK.PROFI.RU © 2020-2024