СПРОСИ ПРОФИ
👍
+2
👎 22

Трудная тригонометрия

Как решить:

Найти суммму

tg(pi/18)^8+tg(5*pi/18)^8+tg(7*pi/18)^8 = ?
тригонометрия элементарная математика математика обучение     #1   04 апр 2016 10:35   Увидели: 13 клиентов, 2 специалиста   Ответить
👍
+8
👎 8
перепишем ее как:

[m]\tan^3 x-3\tan 3x\tan^2 x-3\tan x+\tan 3x=0.[/m]

Подставив в нее последовательно [m]x = \frac{\pi}{18}[/m], [m]\frac{5\pi}{18}[/m], [m]\frac{7\pi}{18}[/m] получим

[m]3t_1^3-3\sqrt{3}t_1^2-9t_1+\sqrt{3}=0;[/m]

[m]3t_2^3+3\sqrt{3}t_2^2-9t_2-\sqrt{3}=0;[/m]

[m]3t_3^3-3\sqrt{3}t_3^2-9t_3+\sqrt{3}=0[/m]

соответственно. Это значит, что числа [m]t_1[/m] и [m]t_3[/m] суть корни многочлена [m]P_1(x) = 3x^3-3\sqrt{3}x^2-9x+\sqrt{3}[/m], а число [m]t_2[/m] есть корень многочлена [m]P_2(x) = 3x^3+3\sqrt{3}x^2-9x-\sqrt{3}[/m]. Значит все три числа [m]t_1[/m], [m]t_2[/m] и [m]t_3[/m] есть корни многочлена:

[m]P_3(x)=\frac{1}{3}P_1(x)P_2(x) = 3x^6-27x^4+33x^2-1.[/m]

По построению и из того, что [m]P_3(x)[/m] содержит лишь мономы четных степеней следует, что числа [m]\pm t_1[/m], [m]\pm t_2[/m] и [m]\pm t_3[/m] --- это все корни [m]P_3(x)[/m], значит числа [m]a_1 = t_1^2[/m], [m]a_2 =t_2^2[/m] и [m]a_3 =t_3^2[/m] --- это все корни многочлена:

[m]P(x)= 3x^3-27x^2+33x-1.[/m]

Таким образом, задача свелась к нахождения суммы [m]a_1^4+a_2^4+a_3^4[/m] , т.е. к вычислению значения 4-го симметрического многочлена Ньютона (мы будем сильно хитрыми и положим [m]a_4=0[/m]). Сначала вычислим значения основных симметрических многочленов от четырех неизвестных (теорема Виета нам тут сильно поможет):

[m]\sigma_1(a_1,a_2,a_3,0) = a_1+a_2+a_3 = 9;[/m]

[m]\sigma_2(a_1,a_2,a_3,0) = a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3 = 11;[/m]

[m]\sigma_3(a_1,a_2,a_3,0) = a_1a_2a_3 = \frac{1}{3};[/m]

[m]\sigma_4(a_1,a_2,a_3,0) = 0.[/m]

Теперь воспользуемся известной (слава Google!) формулой связи симметрических многочленов Ньютона и основных симметрических многочленов:

[m]s_4=\begin{vmatrix}\sigma_1 & 1& 0 &0 \\ 2\sigma_2& \sigma_1& 1& 0\\ 3\sigma_3& \sigma_2& \sigma_1& 1\\ 4\sigma_4& \sigma_3 & \sigma_2& \sigma_1\end{vmatrix}.[/m]

Т.е осталось вычислить определитель четвертого порядка:

[m]\tan^8\frac{\pi}{18}+\tan^8\frac{5\pi}{18}+\tan^8\frac{7\pi}{18}=\begin{vmatrix}9 & 1& 0 &0 \\ 22& 9& 1& 0\\ 1& 11& 9& 1\\ 0& \frac{1}{3} & 11& 9\end{vmatrix}=3251.[/m]
👍
+11
👎 11
Предлагается также решение средствами школьного курса тригонометрии.
Вычислим выражение:
[m]\operatorname{tg} \frac{\pi}{18} — \operatorname{tg} \frac{5\pi}{18} + \operatorname{tg} \frac{7\pi}{18} = (\operatorname{tg} \frac{\pi}{18} + \operatorname{tg} \frac{7\pi}{18}) — (\operatorname{tg} \frac{5\pi}{18} + \operatorname{tg} \frac{\pi}{3}) + \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\cos \frac{7\pi}{18}} — \frac{1}{\sin \frac{\pi}{9}} + \sqrt{3} = \sqrt{3}[/m]
Имеем,
[m]\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{18} + \operatorname{tg}^2 \frac{5\pi}{18} + \operatorname{tg}^2 \frac{7\pi}{18} = \left (\operatorname{tg} \frac{\pi}{18} — \operatorname{tg} \frac{5\pi}{18} + \operatorname{tg} \frac{7\pi}{18}\right)^2 + 2A = 3 + 2A,[/m]
где [m]A = \operatorname{tg} \frac{\pi}{18}\operatorname{tg} \frac{5\pi}{18} — \operatorname{tg} \frac{\pi}{18}\operatorname{tg} \frac{7\pi}{18} + \operatorname{tg} \frac{5\pi}{18}\operatorname{tg} \frac{7\pi}{18}[/m]
Воспользуемся следующей формулой тройного аргумента, справедливой при всех x, для которых обе части равенства определены:
[m]\operatorname{tg} 3x = \operatorname{tg} x \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{3} — x\right) \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{3} + x\right)[/m]
(Непосредственно преобразуется к правой части формулы тройного аргумента, приведенной в #2.)
Подставив [m]x = \frac{\pi}{18},[/m] найдём
[m]\frac{1}{\sqrt{3}} = \operatorname{tg} \frac{\pi}{18} \operatorname{tg} \frac{5\pi}{18} \operatorname{tg} \frac{7\pi}{18},[/m]
[m]A = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(\operatorname{ctg} \frac{\pi}{18} — \operatorname{ctg} \frac{5\pi}{18} + \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{18}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{9} — \operatorname{tg} \frac{2\pi}{9} + \operatorname{tg} \frac{4\pi}{9}\right)[/m]
Преобразуем последнее выражение в скобках:
[m]\operatorname{tg} \frac{4\pi}{9} — \frac{\sin \frac{\pi}{9}}{\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9}} = \frac{-4\cos \frac{4\pi}{9}+2\cos \frac{2\pi}{9}-\cos \frac{8\pi}{9}}{\sin\frac{8\pi}{9}} = \frac{\left(\cos \frac{2\pi}{9}-\cos \frac{4\pi}{9}\right)-3\cos \frac{4\pi}{9}+\left(\cos \frac{2\pi}{9}+\cos \frac{\pi}{9}\right)}{\sin\frac{\pi}{9}} = 2\sqrt{3}\frac{\frac{1}{2}\sin\frac{4\pi}{9}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}[/m]
Поэтому A = 3. Таким образом,
[m]\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{18} + \operatorname{tg}^2 \frac{5\pi}{18} + \operatorname{tg}^2 \frac{7\pi}{18} = 3 + 2\cdot3=9[/m]
Или, в обозначениях #2,
[m]t_1^2+t_2^2+t_3^2=9, t_1t_2t_3=\frac{1}{\sqrt{3}}, t_1-t_2+t_3=\sqrt{3}[/m]
Вычисляем:
[m]t_1^2t_2^2+t_2^2t_3^2+t_1^2t_3^2=A^2-2(-t_1^2t_2t_3+t_1t_2^2t_3-t_1t_2t_3^2)=9+\frac{2}{\sqrt{3}}(t_1-t_2+t_3)=11[/m]
[m]t_1^4+t_2^4+t_3^4=(t_1^2+t_2^2+t_3^2)^2-2(t_1^2t_2^2+t_2^2t_3^2+t_1^2t_3^2)=9^2-2\cdot11=59[/m]
[m]t_1^4t_2^4+t_2^4t_3^4+t_1^4t_3^4=(t_1^2t_2^2+t_2^2t_3^2+t_1^2t_3^2)^2-2(t_1^4t_2^2t_3^2+t_1^2t_2^4t_3^2+t_1^2t_2^2t_3^4)=11^2-\frac{2}{3}\cdot9=115[/m]
[m]t_1^8+t_2^8+t_3^8=(t_1^4+t_2^4+t_3^4)^2-2(t_1^4t_2^4+t_2^4t_3^4+t_1^4t_3^4)=59^2-2\cdot115=3251[/m]

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
+1
👎 11

Тригонометрия,10 класс   1 ответ

Помогите упростить выражение:
sin^2 a/2 + tg^2 φ + cos^2 a/2
👍
0
👎 017

Триг уравнение   17 ответов

Сколько решений уравнения
[m]{{\cos }^{2}}(2x)+{{\cos }^{2}}(4x)=ctgx+1[/m]
лежит на отрезке [Pi/4,5Pi/4]. Никак не сходится с ответом(разница на 1).
  11 дек 2012 12:40  
👍
0
👎 019

Пересечения в решении тригонометрического уравнения   19 ответов

Добрый день!
Помогите, пожалуйста, разобраться с решением уравнения
cos3x*cos7x=0
решения x= pi/6+pin/3; x=pi/14+pin/7 имеют пересечения.
Нужно ли на это обращать внимание на ЕГЭ? Или можно написать две этих формулы и все?
  29 окт 2012 21:26  
👍
+2
👎 213

Тангенсы.   13 ответов

В продолжение темы
https://ask.profi.ru/q/trigonometriya-vychislit-tg20tg40tg60tg80-33254/

Формулу
[m]\operatorname{tg}{3\alpha}=\operatorname{tg}{\alpha}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{\pi}{3}-\alpha)}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{\pi}{3}+\alpha)}[/m]
доказать несложно.

Формулу
[m]\operatorname{tg}{5\alpha}=\operatorname{tg}{\alpha}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{\pi}{5}-\alpha)}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{\pi}{5}+\alpha)}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{2\pi}{5}-\alpha)}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{2\pi}{5}+\alpha)}[/m]
доказать…
👍
0
👎 046

Тригонометрия. С чего начать?   46 ответов

1) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение

4a*cos (pi*x/2) + a^2(2*SQRT(|x|)+1) = 12

2) Решить уравнение:
pi*sin x = | x-pi/4 | — | x-3pi/4|

Во 2-м случае получаем одно из уравнений при х от pi/4 до 3pi/4:
pi*sin(x) = 2x-pi/2
А дальше — ступор
  29 дек 2011 04:22  
👍
0
👎 04

Тригонометрия   4 ответа

При условии [m]\frac{4arct{{g}^{2}}x}{x}+7\pi arctgx=2{{\pi }^{2}}x[/m] найти [m]\frac{{{x}^{2}}}{xarctgx+arct{{g}^{2}}x}[/m]. Задача на курсах(переводная контрольная) МГУ. В школе и близко ничего не было.
  30 дек 2011 15:37  
ASK.PROFI.RU © 2020-2022