СПРОСИ ПРОФИ
👍
0
👎 046

Тригонометрия. С чего начать?

1) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение

4a*cos (pi*x/2) + a^2(2*SQRT(|x|)+1) = 12

2) Решить уравнение:
pi*sin x = | x-pi/4 | — | x-3pi/4|

Во 2-м случае получаем одно из уравнений при х от pi/4 до 3pi/4:
pi*sin(x) = 2x-pi/2
А дальше — ступор
тригонометрия элементарная математика математика обучение     #1   29 дек 2011 04:22   Увидели: 36 клиентов, 7 специалистов   Ответить
👍
+4
👎 4
1) Функция в левой части чётная, поэтому вместе с [m]x_0[/m] решением будет также [m]-x_0.[/m] Следовательно, если Вы хотите единственное решение, то им должен быть 0. Дальше думайте.
👍
0
👎 0
Спс. Так там и нечего дальше делать — подставить 0, найти а
  #4   29 дек 2011 19:05   Ответить
👍
+3
👎 3
Не всё так просто. При некоторых найденных a нулевое решение может быть не единственным.
👍
0
👎 0
Т.е. лучше построить после этого графики при найденных а, перенеся в разные части корень и косинус, и перепроверить?
  #6   29 дек 2011 19:24   Ответить
👍
+1
👎 1
В общем, да. Если корень 0 не единственный, то, чтобы забраковать такое а, следует либо этот факт доказать исходя из свойств функций, либо (как в Вашей задаче) указать ненулевой корень, он легко находится.
👍
+4
👎 4
2) Уравнение получилось неправильным :-(
Попробуйте построить график правой части, начать решать исходное уравнение графически, и все нужные корни станут видны, как на ладони, а уравнение сведётся к простейшему, и графика станет не нужна :-)
👍
+1
👎 1
А вот ещё задания, чтобы не создавать темы

1) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение на промежутке

a*sin^2(x) + 2(a+1)sin(x) = 1-a, [0;pi/2]

2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет нечетное количество разных корней на заданном отрезке

(a — x^2 — cos (11pi*x/4)*SQRT(8-ax) = 0
z=[-2;3]

Тут нужно привести уравнения к виду a=f(x) ??
  #8   30 дек 2011 21:38   Ответить
👍
0
👎 0
1) Я бы сделал замену z=sin(x) и выписал выражения для корней. При a>0 получилось бы, что один корень точно отрицательный, дальше осталось бы выписать неравенство на то, что второй из [0,1] и решить его.
При [m]a\leq 0[/m] один из корней точно бы был положительный, значит либо он из [0,1], а другой нет, либо он больше 1, а второй из [0,1]
2) Второе уравнение точно правильно выписано? Что за скобка в начале?
👍
0
👎 0
Точнее так:

(a — x^2 — cos(11pi*x/4) )*SQRT(8-ax) = 0
z=[-2;3]
  #13   30 дек 2011 23:49   Ответить
👍
+1
👎 1
Сергей, уважайте других людей, выписывайте условие аккуратно. Я потратил некоторое время на то, чтобы приобрести твердую уверенность, что вы выписали условие с ошибкой.

Так все проще, либо первый множитель занулился, либо второй. У второго корень один и очевидный при ненулевых a,
Первый зануляется если [m]f(x)=x^2+cos(11 pi x/4)[/m] достигает значения а.
Нетрудно убедиться, что при a>4 это значение достигается только при x>2, что не попадает в область определения. То есть первый множитель в 0 не обращается.
При x>2 f(x)>4 так что при a<=4 точки полуинтервала (2,3] нам не подходят, то есть интервал можно сократить до [-2,2].
А там из четности f(x)
👍
0
👎 0
"Нетрудно убедиться, что при a>4 это значение достигается только при x>2, что не попадает в область определения."

т.к. z=[-2;3], то x>2 частично удовлетворяет z.

может Вы что-то другое имели ввиду?

и еще не понял:
"А там из четности f(x)" — ?

ну, это еще необходимо доказать, что функция четная:
необходимо учитывать также условие 8-аx>0 — это ограничение не симметрично относительно 0.
👍
0
👎 0
ye? tccyj? 8-аx>=0
ну, ессно, 8-аx>=0
👍
0
👎 0
Значит ax=8
или
[m]ax\leq 8[/m]
f(x)=a
Если a>4, то у второй системы нет решений. Значит у исходного уравнения корень будет один.
Если a<-4, то тоже самое.
Если [m]a\leq 4[/m],
то у первого уравнения один корень, больший 2,
у второго на [-2,3] все решения сосредоточены на [-2,2], а условие [m]ax\leq 8[/m] выполняется автоматически.
Вот и получается, что один корень меньше двух и четное количество корней на [-2,2] .
Осталось не потерять исключение a=f(0), когда корней на [-2,2] нечетное число.
👍
0
👎 0
В предпоследнем предложении опечатка — один корень больше 2.
Ну и естественно, надо про него проверить, что он не больше трех :)
Ответ вроде [m](-\infty,-4] \cup {1} \cup [8/3,4] \cup [9+\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)[/m].
👍
0
👎 0
но, при [m]a=9+\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
у нас 2-а неравных корня входящих в заданную область:

[m]x=3[/m],
[m]x=\frac{8}{9+\frac{\sqrt{2}}{2}}[/m]
👍
0
👎 0
Ну да, левая граница последней зоны и правая предпоследней должны быть выключенными. Я же написал вроде, думал в уме и на скору руку :) Все-таки был озабочен новогодними хлопотами.
a=1 это та точка, в которой у нашей четной функции нечетное число корней на промежутке — ее значение в 0.
👍
0
👎 0
но, при a=4
у нас 2-а неравных корня входящих в заданную область:
x=2
x=-2
стало быть, опять не катит (как и в #32) ...

и, честно говоря, решения я понял только в общих чертах, если так можно сказать

откуда получается a=1 ?
Дорогой Александр Викторович!
скорее всего, я что-то не понимаю, но, тогда будьте любезны, покажите этот единственный Ваш корень при a=1
да, есть х=0 — не спорю.
а еще 6-ть корней не видите, симметричных относительно нуля?
👍
0
👎 0
А причем тут "единственный"? Их семь, да. Семь это вроде нечетное число, нет?
👍
0
👎 0
ну, надо же!
это я по первой задаче 1) где написано "имеет единственное решение "
по инерции стал также решать и 2)-ю

Приношу извинения!

да, ессно, тогда а=1 проходит, 7-мь корней
👍
0
👎 0
для 1) Вы можете сделать ессную замену z=sin(x), далее рассматривая квадратичную ф-ию от z находите необходимые(но не достаточные для "а" !) условия: f(0)*f(1)<=0 (меньше или равно).
Есть очевидный момент: f(0), f(1) не должны одновременно быть равны нулю.
Найденные "а" проверяете на достаточность (т.е. будет или нет выполняться условие задачи).
Ну, это собственно стандартный метод ешения, возможно, есть и покороче.
👍
0
👎 0
А вы касание [0,1] снизу отвергаете по умолчанию? :)
👍
0
👎 0
ну, таки добавьте касание хоть сверху, хоть снизу: D=0, -B/(2A) между 0 и 1.
Честно говоря, предпочел посмотреть финал квн-а, полному решению задачи
:))
👍
0
👎 0
Понятно кроме f(0)*f(1)<=0
Т.е. взяли синусы от краев промежутка. Что это за условие?

И можно ли хоть маленькую подсказку ко второй задаче?
  #10   30 дек 2011 23:35   Ответить
👍
+1
👎 1
"Понятно кроме f(0)*f(1)<=0"

- подвигайте график квадратичной функции(ветвями вверх или вниз) относительно отрезка [0,1]. Определите случаи когда решения нет, один корень, 2-а корня.
Отдельно рассмотрите случаи когда ф-ия переходит в линейную или константу(не реализуется).
👍
0
👎 0
для задачи 1) получается (у меня) [m]-\frac{1}{4}\leq a \leq 1[/m]
Для решения используйте следующее утверждение:
Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число M, а другой больше чем M(т.е. точка М строго лежала между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:
при а>0 : f(M)<0
при а<0 : f(M)>0

Далее, рассматривайте это утверждение относительно М=0;1 и объединяйте их. По отдельности рассмотрите случаи когда трехчлен проходит через каждую из этих точек, не проходя через другую. Ну, и случай, когда есть касание на [0,1], см. #12 (правда, этот случай не реализуется.
У Вас должны получиться решения:
a=0.
a=-1/4
a=1
-1/4<a<0
0<a<1
Объединяете их.
Надеюсь, в арифметике не ошибся.
👍
0
👎 0
Ну с таким успехом можно и
при а>5 : f(M)<0
при а<-3,356 : f(M)>0

Причем тут а? а — это параметр, который может быть абсолютно любым
  #18   31 дек 2011 01:28   Ответить
👍
0
👎 0
"Причем тут а?"

- при а>0 ветви направлены вверх, при а<0 — вниз
👍
0
👎 0
удобнее конечно же построить график а=f(x)

a=(1-2sin(x))/(sin(x)+1)^2

но его неудобно строить
  #19   31 дек 2011 01:49   Ответить
👍
0
👎 0
Кстати подставив в него края интервала и находим изменение а
  #20   31 дек 2011 01:56   Ответить
👍
0
👎 0
это при условии, что предварительно показываете монотонность функции
Y(x)=(1-2sin(x))/(sin(x)+1)^2

она действительно монотонна на [0;pi/2]

выясните: возрастает, убывает?
👍
0
👎 0
ну, ессно, необходимо также подчеркнуть непрерывность этой функции, но, это очевидно
👍
0
👎 0
Ясно, спс.
Получается надо найти производную от функции и выяснить, где она меньше или больше нуля, а потом сравнить с промежутком, есть ли на нем точки экстремума (если нет, то будет только один корень).. Заодно это и будет доказательством монотонности....
  #24   31 дек 2011 13:16   Ответить
👍
+1
👎 1
тот метод, который предложили Вы: a=f(x) — красивый, но, на экзаменационных задачах, такого подарка(линейного выделения параметра а) навряд ли будет.
А вот метод рассмотрения корней относительно заданных точек он уже является типа стандартным. Можете потренироваться на следующих задачах (отсканировал на скорую руку, что было под рукой; в принципе, можно поискать и посложнее) :
👍
0
👎 0
производная будет строго меньше нуля, ф-ия убывающая от 1 до -1/4.
👍
+3
👎 3
Дети! Запомните этих учителей, которые даже в предновогодний день думают о Вас.
Рамиль — это Рамиль Деянов, репетитор математики.
👍
+3
👎 3
Точнее — Рамиль Зиннятулович, человек, влюбленный в математику и обладающий хорошей математической культурой.
Он и своих учеников учить любить математику.
👍
+2
👎 2
Друзья,
вы наверно уже не помните, но я совсем недавно (в сентябре) вошел в ваш круг (репетиторов), и, собственно, именно у вас научился (и учусь далее) культуре отношения к посетителям форума. Скажу честно, на других форумах (например, на dxdy, где я долго был) взаимоотношения несколько иные. Именно поэтому, я и с вами.
Пользуясь случаем, разрешите поздравить еще раз с Новым годом и пожелать вам всем здоровья, удачи, веры. Ну, и конечно, сильных, мотивированных учеников !
С Новым годом, друзья!

ps. одно ломает — дожать бы задачку 2) из #8
👍
0
👎 0
Любите Вы над людьми издеваться под Новый год.
Чего только не сделаешь для хорошего человека.
Принимайте решение, надеюсь, оно правильное.
Но ошибки все же поищите.
👍
0
👎 0
Больно не хочется, чтобы Вас ломало...
👍
0
👎 0
Гадость под корнем даст ровно один корень.
Остается только вопрос, что подарит первая скобка.
Первая скобка будет давать четное количество корней всегда, кроме единственного, при а = 1.
При а=1 есть корень х=0.
Окончательно из рисунка:
[-4; 0) U (0; 1) U (1; 8/3]
👍
0
👎 0
"Остается только вопрос, что подарит первая скобка."

- первая скобка может дать от 0 до 8-ми корней, проверил.

сейчас отсканирую, решение не подробное, но, уже думаю — окончательное.
👍
0
👎 0
Рамиль!
Ищется нечетное количество корней, а первая скобка дает только ЧЕТНОЕ количество корней, так что на нее можно не обращать внимания вообще, кроме, конечно, подленького а=1.
👍
0
👎 0
И, чур, отсканируете, и после этого — встречать новый год!

С наступающим!

И всем вместе с Вами!
👍
+1
👎 1
ну, вот, проводили Старый год и решение покатило.
Собственно, из #31 я не принял решение a=1, которое давало 7-мь корней, вместо требуемого по условию — одного.
Ну, что ж, могу быть только благодарен Александру Викторовичу за доставленное удовольствие поиска решения в канун НГ — "как встретишь, так и проведешь".
Ну, а ему могу только посоветовать быть повнимательнее(ну, и повежливее к своим коллегам, на внутреннем форуме).
👍
0
👎 0
Остается только добавить: лень до добра не доводит.
Вы, наверное поняли, рассуждал из соображений симметрии.
Спасибо!
👍
0
👎 0
см. #50
еще раз, приношу извинения за СВОЮ невнимательность...

ну да, за пару часов до Н.Г.

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 04

Решил, но не сходится с ответом. Помогите найти ошибку   4 ответа

Равносильность тригонометрических уравнений
  02 май 2014 14:16  
👍
−1
👎 -11

Тригонометрия   1 ответ

1) 3 sin ^2 x+10+3 cos^2 x
2) cos^2 15 градусов+cos^2 75 градусов
3) cos^2 15 градусов — sin^2 75 градусов
4) 3 сos^2 x +1 — cos^2 x — 3 sin^2 x, если cos 2x = — 0,2
5) (sin x-cos x)^2, если sin 2x =0,4
  27 янв 2014 19:41  
👍
+1
👎 110

Тригонометрия   10 ответов

Решить уравнение
( sin 2x+ корень квадратный из 3* cos 2x)^2=2+2 cos (п/6 -2x)
  19 фев 2012 14:47  
👍
0
👎 06

Вычислить тригонометрия   6 ответов

С точностью до 0,01 вычислить значение , если 1) 8-5sin2x-6[m]{{\cos }^{2}}x=0[/m], если 2) 7-6[m]{{\cos }^{2}}x-5\sin 2x-8{{\sin }^{2}}x=0[/m]

Это контрольная, учимся в дистанционной школе. Вроде все не трудно, Но не засчитали???
  15 янв 2012 15:29  
👍
+1
👎 111

Не понимаю значения тригонометрического выражения sinx*cosx   11 ответов

Откуда это выражение вообще берется, и что за ним стоит?
Например sin2x мне понятен — это когда sin(x+x) а что такое sinx*cosx.
Можно хотя бы графически как-то выразить?
И вообще не понимаю, как представить умножение двух углов sinA*sinB или sinA*cosB.
Будте добры дайте хоть какие-то наводки к объяснению. Уже пятую книгу читаю по тригонометрии — нигде подобных объяснений нет.
Посоветуйте что-нибудь.

  22 авг 2011 13:11  
👍
+2
👎 235

Тригонометрия. С чего начать?   35 ответов

С чего начать преобразование уравнения? Что-то не могу найти задел:

cos 6x + sin 5x/2 = 2
  17 авг 2011 02:06  
ASK.PROFI.RU © 2020-2022