|
👍 0 👎 |
Тригонометрия. С чего начать?1) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение
4a*cos (pi*x/2) + a^2(2*SQRT(|x|)+1) = 12 2) Решить уравнение: pi*sin x = | x-pi/4 | — | x-3pi/4| Во 2-м случае получаем одно из уравнений при х от pi/4 до 3pi/4: pi*sin(x) = 2x-pi/2 А дальше — ступор
тригонометрия элементарная математика математика обучение
Сергей
|
|
👍 +4 👎 |
1) Функция в левой части чётная, поэтому вместе с [m]x_0[/m] решением будет также [m]-x_0.[/m] Следовательно, если Вы хотите единственное решение, то им должен быть 0. Дальше думайте.
|
|
👍 0 👎 |
Спс. Так там и нечего дальше делать — подставить 0, найти а
|
|
👍 +3 👎 |
Не всё так просто. При некоторых найденных a нулевое решение может быть не единственным.
|
|
👍 0 👎 |
Т.е. лучше построить после этого графики при найденных а, перенеся в разные части корень и косинус, и перепроверить?
|
|
👍 +1 👎 |
В общем, да. Если корень 0 не единственный, то, чтобы забраковать такое а, следует либо этот факт доказать исходя из свойств функций, либо (как в Вашей задаче) указать ненулевой корень, он легко находится.
|
|
👍 +4 👎 |
2) Уравнение получилось неправильным :-(
Попробуйте построить график правой части, начать решать исходное уравнение графически, и все нужные корни станут видны, как на ладони, а уравнение сведётся к простейшему, и графика станет не нужна |
|
👍 +1 👎 |
А вот ещё задания, чтобы не создавать темы
1) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение на промежутке a*sin^2(x) + 2(a+1)sin(x) = 1-a, [0;pi/2] 2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет нечетное количество разных корней на заданном отрезке (a — x^2 — cos (11pi*x/4)*SQRT(8-ax) = 0 z=[-2;3] Тут нужно привести уравнения к виду a=f(x) ?? |
|
👍 0 👎 |
1) Я бы сделал замену z=sin(x) и выписал выражения для корней. При a>0 получилось бы, что один корень точно отрицательный, дальше осталось бы выписать неравенство на то, что второй из [0,1] и решить его.
При [m]a\leq 0[/m] один из корней точно бы был положительный, значит либо он из [0,1], а другой нет, либо он больше 1, а второй из [0,1] 2) Второе уравнение точно правильно выписано? Что за скобка в начале? |
|
👍 0 👎 |
Точнее так:
(a — x^2 — cos(11pi*x/4) )*SQRT(8-ax) = 0 z=[-2;3] |
|
👍 +1 👎 |
Сергей, уважайте других людей, выписывайте условие аккуратно. Я потратил некоторое время на то, чтобы приобрести твердую уверенность, что вы выписали условие с ошибкой.
Так все проще, либо первый множитель занулился, либо второй. У второго корень один и очевидный при ненулевых a, Первый зануляется если [m]f(x)=x^2+cos(11 pi x/4)[/m] достигает значения а. Нетрудно убедиться, что при a>4 это значение достигается только при x>2, что не попадает в область определения. То есть первый множитель в 0 не обращается. При x>2 f(x)>4 так что при a<=4 точки полуинтервала (2,3] нам не подходят, то есть интервал можно сократить до [-2,2]. А там из четности f(x) |
|
👍 0 👎 |
"Нетрудно убедиться, что при a>4 это значение достигается только при x>2, что не попадает в область определения."
т.к. z=[-2;3], то x>2 частично удовлетворяет z. может Вы что-то другое имели ввиду? и еще не понял: "А там из четности f(x)" — ? ну, это еще необходимо доказать, что функция четная: необходимо учитывать также условие 8-аx>0 — это ограничение не симметрично относительно 0. |
|
👍 0 👎 |
ye? tccyj? 8-аx>=0
ну, ессно, 8-аx>=0 |
|
👍 0 👎 |
Значит ax=8
или [m]ax\leq 8[/m] f(x)=a Если a>4, то у второй системы нет решений. Значит у исходного уравнения корень будет один. Если a<-4, то тоже самое. Если [m]a\leq 4[/m], то у первого уравнения один корень, больший 2, у второго на [-2,3] все решения сосредоточены на [-2,2], а условие [m]ax\leq 8[/m] выполняется автоматически. Вот и получается, что один корень меньше двух и четное количество корней на [-2,2] . Осталось не потерять исключение a=f(0), когда корней на [-2,2] нечетное число. |
|
👍 0 👎 |
В предпоследнем предложении опечатка — один корень больше 2.
Ну и естественно, надо про него проверить, что он не больше трех Ответ вроде [m](-\infty,-4] \cup {1} \cup [8/3,4] \cup [9+\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)[/m]. |
|
👍 0 👎 |
но, при [m]a=9+\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
у нас 2-а неравных корня входящих в заданную область: [m]x=3[/m], [m]x=\frac{8}{9+\frac{\sqrt{2}}{2}}[/m] |
|
👍 0 👎 |
Ну да, левая граница последней зоны и правая предпоследней должны быть выключенными. Я же написал вроде, думал в уме и на скору руку
a=1 это та точка, в которой у нашей четной функции нечетное число корней на промежутке — ее значение в 0. |
|
👍 0 👎 |
но, при a=4
у нас 2-а неравных корня входящих в заданную область: x=2 x=-2 стало быть, опять не катит (как и в #32) ... и, честно говоря, решения я понял только в общих чертах, если так можно сказать откуда получается a=1 ? Дорогой Александр Викторович! скорее всего, я что-то не понимаю, но, тогда будьте любезны, покажите этот единственный Ваш корень при a=1 да, есть х=0 — не спорю. а еще 6-ть корней не видите, симметричных относительно нуля? |
|
👍 0 👎 |
А причем тут "единственный"? Их семь, да. Семь это вроде нечетное число, нет?
|
|
👍 0 👎 |
ну, надо же!
это я по первой задаче 1) где написано "имеет единственное решение " по инерции стал также решать и 2)-ю Приношу извинения! да, ессно, тогда а=1 проходит, 7-мь корней |
|
👍 0 👎 |
для 1) Вы можете сделать ессную замену z=sin(x), далее рассматривая квадратичную ф-ию от z находите необходимые(но не достаточные для "а" !) условия: f(0)*f(1)<=0 (меньше или равно).
Есть очевидный момент: f(0), f(1) не должны одновременно быть равны нулю. Найденные "а" проверяете на достаточность (т.е. будет или нет выполняться условие задачи). Ну, это собственно стандартный метод ешения, возможно, есть и покороче. |
|
👍 0 👎 |
А вы касание [0,1] снизу отвергаете по умолчанию?
|
|
👍 0 👎 |
ну, таки добавьте касание хоть сверху, хоть снизу: D=0, -B/(2A) между 0 и 1.
Честно говоря, предпочел посмотреть финал квн-а, полному решению задачи |
|
👍 0 👎 |
Понятно кроме f(0)*f(1)<=0
Т.е. взяли синусы от краев промежутка. Что это за условие? И можно ли хоть маленькую подсказку ко второй задаче? |
|
👍 +1 👎 |
"Понятно кроме f(0)*f(1)<=0"
- подвигайте график квадратичной функции(ветвями вверх или вниз) относительно отрезка [0,1]. Определите случаи когда решения нет, один корень, 2-а корня. Отдельно рассмотрите случаи когда ф-ия переходит в линейную или константу(не реализуется). |
|
👍 0 👎 |
для задачи 1) получается (у меня) [m]-\frac{1}{4}\leq a \leq 1[/m]
Для решения используйте следующее утверждение: Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число M, а другой больше чем M(т.е. точка М строго лежала между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий: при а>0 : f(M)<0 при а<0 : f(M)>0 Далее, рассматривайте это утверждение относительно М=0;1 и объединяйте их. По отдельности рассмотрите случаи когда трехчлен проходит через каждую из этих точек, не проходя через другую. Ну, и случай, когда есть касание на [0,1], см. #12 (правда, этот случай не реализуется. У Вас должны получиться решения: a=0. a=-1/4 a=1 -1/4<a<0 0<a<1 Объединяете их. Надеюсь, в арифметике не ошибся. |
|
👍 0 👎 |
Ну с таким успехом можно и
при а>5 : f(M)<0 при а<-3,356 : f(M)>0 Причем тут а? а — это параметр, который может быть абсолютно любым |
|
👍 0 👎 |
"Причем тут а?"
- при а>0 ветви направлены вверх, при а<0 — вниз |
|
👍 0 👎 |
удобнее конечно же построить график а=f(x)
a=(1-2sin(x))/(sin(x)+1)^2 но его неудобно строить |
|
👍 0 👎 |
Кстати подставив в него края интервала и находим изменение а
|
|
👍 0 👎 |
это при условии, что предварительно показываете монотонность функции
Y(x)=(1-2sin(x))/(sin(x)+1)^2 она действительно монотонна на [0;pi/2] выясните: возрастает, убывает? |
|
👍 0 👎 |
ну, ессно, необходимо также подчеркнуть непрерывность этой функции, но, это очевидно
|
|
👍 0 👎 |
Ясно, спс.
Получается надо найти производную от функции и выяснить, где она меньше или больше нуля, а потом сравнить с промежутком, есть ли на нем точки экстремума (если нет, то будет только один корень).. Заодно это и будет доказательством монотонности.... |
|
👍 +1 👎 |
тот метод, который предложили Вы: a=f(x) — красивый, но, на экзаменационных задачах, такого подарка(линейного выделения параметра а) навряд ли будет.
А вот метод рассмотрения корней относительно заданных точек он уже является типа стандартным. Можете потренироваться на следующих задачах (отсканировал на скорую руку, что было под рукой; в принципе, можно поискать и посложнее) : |
|
👍 0 👎 |
производная будет строго меньше нуля, ф-ия убывающая от 1 до -1/4.
|
|
👍 +3 👎 |
Дети! Запомните этих учителей, которые даже в предновогодний день думают о Вас.
Рамиль — это Рамиль Деянов, репетитор математики. |
|
👍 +3 👎 |
Точнее — Рамиль Зиннятулович, человек, влюбленный в математику и обладающий хорошей математической культурой.
Он и своих учеников учить любить математику. |
|
👍 +2 👎 |
Друзья,
вы наверно уже не помните, но я совсем недавно (в сентябре) вошел в ваш круг (репетиторов), и, собственно, именно у вас научился (и учусь далее) культуре отношения к посетителям форума. Скажу честно, на других форумах (например, на dxdy, где я долго был) взаимоотношения несколько иные. Именно поэтому, я и с вами. Пользуясь случаем, разрешите поздравить еще раз с Новым годом и пожелать вам всем здоровья, удачи, веры. Ну, и конечно, сильных, мотивированных учеников ! С Новым годом, друзья! ps. одно ломает — дожать бы задачку 2) из #8 |
|
👍 0 👎 |
Любите Вы над людьми издеваться под Новый год.
Чего только не сделаешь для хорошего человека. Принимайте решение, надеюсь, оно правильное. Но ошибки все же поищите. |
|
👍 0 👎 |
Больно не хочется, чтобы Вас ломало...
|
|
👍 0 👎 |
Гадость под корнем даст ровно один корень.
Остается только вопрос, что подарит первая скобка. Первая скобка будет давать четное количество корней всегда, кроме единственного, при а = 1. При а=1 есть корень х=0. Окончательно из рисунка: [-4; 0) U (0; 1) U (1; 8/3] |
|
👍 0 👎 |
"Остается только вопрос, что подарит первая скобка."
- первая скобка может дать от 0 до 8-ми корней, проверил. сейчас отсканирую, решение не подробное, но, уже думаю — окончательное. |
|
👍 0 👎 |
Рамиль!
Ищется нечетное количество корней, а первая скобка дает только ЧЕТНОЕ количество корней, так что на нее можно не обращать внимания вообще, кроме, конечно, подленького а=1. |
|
👍 0 👎 |
И, чур, отсканируете, и после этого — встречать новый год!
С наступающим! И всем вместе с Вами! |
|
👍 +1 👎 |
ну, вот, проводили Старый год и решение покатило.
Собственно, из #31 я не принял решение a=1, которое давало 7-мь корней, вместо требуемого по условию — одного. Ну, что ж, могу быть только благодарен Александру Викторовичу за доставленное удовольствие поиска решения в канун НГ — "как встретишь, так и проведешь". Ну, а ему могу только посоветовать быть повнимательнее(ну, и повежливее к своим коллегам, на внутреннем форуме).  |
|
👍 0 👎 |
Остается только добавить: лень до добра не доводит.
Вы, наверное поняли, рассуждал из соображений симметрии. Спасибо! |
|
👍 0 👎 |
см. #50
еще раз, приношу извинения за СВОЮ невнимательность... ну да, за пару часов до Н.Г. |
Задайте свой вопрос по математике
профессионалам
● Сейчас онлайн
75
репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно
Получите ответ профи быстро и бесплатно
Другие вопросы на эту тему:
|
👍 0 👎 |
Решил, но не сходится с ответом. Помогите найти ошибку
|
|
👍 −1 👎 |
Тригонометрия
|
|
👍 +1 👎 |
Тригонометрия
|
|
👍 0 👎 |
Вычислить тригонометрия
|
|
👍 +1 👎 |
Не понимаю значения тригонометрического выражения sinx*cosx
|
|
👍 +2 👎 |
Тригонометрия. С чего начать?
|
ASK.PROFI.RU © 2020-2024