Точка пересечения биссектрис треугольника

В треугольнике ABC угол A равен 60∘. На лучах BA и CA отложены отрезки BX и CY, равные стороне BC. Докажите, что прямая XY проходит через точку пересечения биссектрис треугольника ABC.

Рассмотреть равнобедренные треугольники ХВС и ВСУ.

Провести медиану ВВ1 (биссектрису, высоту) треугольника ХВС. Обозначьте точку пересечения ВВ1 и ХУ через О. Доказать, что СС1 (биссектриса) тоже проходит через О.

Равнобедренный треугольник BCX симметричен относительно прямой BО(ВВ1), а равнобедренный треугольник BCY симметричен относительно прямой CО(СС1).Поэтому ∠BОX = ∠BОC

А что нам дает информация, что угол А равен 60∘?

Если обозначить точку пересечения биссектрис через I, а точки касания вписанной окружности со сторонами AB, BC и AC соответственно K, L, M, то тр-к IKX равен IMC, а тр-к IMY равен BIL, поэтому сумма углов XIK и YIM равна 90 + <A/2, то есть 120. А угол KIM равен 180 — <A, то есть тоже 120.

Спасибо

В трапеции ABCD основания AD и BC равны 8 и 32 соответственно. Известно, что описанная окружность треугольника ABD касается прямых BC и CD. Найдите периметр трапеции

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A проведена высота AH. Окружность, проходящая через точки A и H, пересекает катеты AB и AC в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AX=5, AY=6, AB=9.

Олимпиада по математике
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A проведена высота AH. Окружность, проходящая через точки A и H, пересекает катеты AB и AC в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AX=3, AY=6, AB=7

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A проведена высота AH. Окружность, проходящая через точки A и H, пересекает катеты AB и AC в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AX=5, AY=6, AB=9.

В трапеции ABCD основания AD и BC равны 8 и 18 соответственно. Известно, что описанная окружность треугольника ABD касается прямых BC и CD. Найдите периметр трапеции.