Олимпиада по математике

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A проведена высота AH. Окружность, проходящая через точки A и H, пересекает катеты AB и AC в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AX=5, AY=6, AB=9.

13,5

Приведу другое решение по тому же рисунку.
∆ AHD — прямоугольный, вписанный в окружность, следовательно AD -диаметр.
∆ AXY — прямоугольный, вписанный в окружность, следовательно XY -диаметр.
Это плагиат, дальше по другому.)
∆YDA прямоугольный, как треугольник вписанный в окружность одна из сторон которого является диаметром.
∆AXY=∆YDA по гипотенузе и общему карету. Следовательно YD=AX, как соответствующие стороны равных треугольников. YD=5.
Прямоугольные ∆ABC и ∆YDC подобны, так как имеют общий острый угол C. AB/YD=AC/YC, так как сходственные стороны подобных треугольников пропорциональны. 9/5 = AC/(AC-6); 9(AC-6) = 5AC; 4AC=54; AC=13,5.
ОТВЕТ: 13,5.
_______________________________________
Можно было воспользоваться тем, что четырëхугольник AXDY прямоугольник, т. к. его диагонали являются диаметрами. А вместо ∆YDC рассматривать ∆XBD.
Для меня остался пока открытым вопрос, может ли окружность касаться BC (точка D совпадать с H) и может ли, при условии двух точек пересечения окружности с гипотенузой, точка D лежать на BH. Понимаю, что если эти два случая и возможны, то решение практически не изменится (ведь AXDY и в этих случаях останется прямоугольником) и ответ будет тем же.