СПРОСИ ПРОФИ
👍
0
👎 023

Сокращение на модуль

[m]x\leq -\sqrt{3}\|x==1\|x\geq \sqrt{3}[/m]
математика обучение     #1   24 дек 2011 21:01   Увидели: 163 клиента, 8 специалистов   Ответить
👍
0
👎 0
неравенство:

|x-1|(x^4-2x^2-3)>=0

делим на |x-1|, получаем систему:

x != 0 (!= — "неравно")
x^4-2x^2-3 >= 0

далее второе уравнение системы решаем заменой и разложение квадратного трехчлена на множители:

x != 0
(x^2-3)(x^2+1) >= 0


x^2 +1 > 0 поэтому "откидываем".

система:
x^2 +1 > 0
x != 0
(x^2-3) >= 0
далее метод интервалов и ответ:

[m]x\leq -\sqrt{3}[/m] [m]\left\|x\geq \sqrt{3}\right.[/m]

но ответ неверный. на самом деле ответ будет:
[m]x\leq -\sqrt{3}\|x==1\|x\geq \sqrt{3}[/m]



я метод решения подобных неравенств узнал недавно, поэтому мог неправильно его понять. мы говорим, что Х не равен 1 т.к. 1 обращает модуль в нуль. а этого быть не должно так как мы делим на модуль. поэтому модуль быть нулем не должен быть.
но с другой стороны, при x=1 наше неравенство верно! т.е. когда мы делим на 1 мы тупо выкидываем корень.
поясните, где в моих рассуждения ошибка?
  #2   24 дек 2011 21:16   Ответить
👍
+1
👎 1
Ошибка в том, что мы здесь не делим на модуль, когда решаем уравнение с 0 в правой части, а используем свойство произведения: произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. А потому рассматриваем два решения 1) приравниваем модуль 0 и 2) приравниваем 0 то, что в скобках.
👍
+1
👎 1
Или, другими словами:
— ИЛИ х-1=0 (и тогда нестрогое неравенство верно);
— ИЛИ можно разделить обе части на положительное число |x-1|.
👍
+1
👎 1
По идее, надо не делить, а УМНОЖАТЬ на модуль. Получаем

(х-1)^2*(x^2-3)*(x^2+1)>=0,

и стандартный метод интервалов дает правильный ответ безо всяких логических ухищрений.
👍
0
👎 0
и вопрос, |x|*|x| будет всегда x^2?

|x|^2 <==> x^2
это верное утверждение? верно всегда, без исключений?
  #8   24 дек 2011 23:46   Ответить
👍
0
👎 0
Естественно. да. Альтернативное определение модуля :

|x|=(x^2)^(1/2)
👍
0
👎 0
Особенно над полем комплексных чисел.
Есть еще такой ужас как Клифордовы числа (не знаю что это такое).

Скорее равенство
|x|^2 <==> x^2
является исключением, просто мы к нему привыкли.
👍
0
👎 0
ну главное чтобы неожиданностей не было при использование таких вот определений модуля.
а это.. Алгебра Клиффорда — так мне еще славо богу далеко!..
  #11   25 дек 2011 16:16   Ответить
👍
0
👎 0
Обеими руками за!
Ответ давался на вопрос: "это верное утверждение? верно всегда, без исключений?"
Добавьте: "в школе" или что-нибудь еще подобное, чтобы потом неожиданностей не было.
👍
0
👎 0
пока школяра — не грозит
  #13   25 дек 2011 16:42   Ответить
👍
0
👎 0
Проблема с котенком в том — что он становится котом.
Со школяром — примерно такая же проблема: школяр — не на всю жизнь школяр.
👍
+1
👎 1
Абсолютно непонятно, зачем делить одно выражение на другое неотрицательное выражение,содержащее неизвестную величину, чтобы узнать, когда исходное выражение будет неотрицательным? Кому в заданном неравенстве мешает модуль, и зачем на него делить? " Ошибка в рассуждениях" в отсутствии целесообразности деления на выражение, содержащее неизвестную величину.
И снова хочется высказать сожаление, что уже не первый раз автор старт-поста на форуме вместо решения НЕРАВЕНСТВ, увлекается решением уравнений. Ещё печальнее, что ему в этом даже и помогают!
👍
0
👎 0
ну.. "в лоб" решать чтоли?..
  #7   24 дек 2011 23:45   Ответить
👍
+2
👎 2
Вот видите! Манипуляции с модулем только добавляют "головной боли". особенно у пытливых "школьников". Почему нельзя его, модуль, вовсе не трогать. Детская потребность "избавиться от модуля"- это на самом деле упрямое нежелание разбираться и запоминать простые строгие определения, а всякий раз заменять знания простых и ясных вещей суррогатными схемами и самодельными "приёмчиками". Всякий новый более сложный пример будет снова и снова вызывать "ошибку в рассуждениях" по той простой причине, что нет никаких рассуждений. А есть зуд избавиться от работы с недоученным элементарным понятием.
Автору старт-поста и всем его добровольным помощникам предлагаю выбрать верный ответ на вопрос "Если увидел модуль в выражении, то что нужно делать?":
1. Поделить на модуль.
2. Умножить на модуль.
3. Ничего с модулем не делать.
4. Выучить как следует определение понятия модуль, и разобраться в нём.
5. Обратиться на открытый форум "Ваш репетитор".
👍
+2
👎 2
Ничего с модулем не делать, а Выучить как следует определение понятия модуль, и разобраться в нём, а потом Обратиться на открытый форум "Ваш репетитор", чтобы консультировать тех, кто хочет Поделить на модуль или Умножить на модуль. :-)))

Правильно?
👍
+1
👎 1
С наступающим Новым годом, Павел Борисович! Вы выиграли в этой викторине! =)))))) Вы и так один из лучших консультантов нашего открытого форума, а теперь ещё и призер супер викторины!!!!
И я поддерживаю Вашу идею, привлекать к консультациям на форуме самих ребят. Это лучший способ разбираться в математике, — помогать своим ребятам.
👍
+2
👎 2
Спасибо, Виктор Иванович, взаимно!
Здесь, на открытом форуме, я уже заметил нескольких активистов, помогающих себе подобным. Хорошо бы продумать систему стимулирования такого общения.
👍
0
👎 0
ну не надо тут. данный пример можно решить "в лоб" : раскрывать модули и рассматривать все случаи. но ведь "сократить" модуль — это гораздо быстрее. тем более, такого метода решения(умножить на модуль) я не знал :)
  #18   26 дек 2011 10:02   Ответить
}\put(140,30){\oval(60,20)[tl]}\multiput(50,30)(40,0){2}{\oval(40,20)}\multiput(30,30)(40,0){3}{\circle*{4}}\put(20,8){$-\sqrt{3}$}\put(66,8){$1$}\put(100,8){$\sqrt{3}$}\linethickness{2pt}\multiput(0,30)(110,0){2}{\line(1,0){30}}\end{picture}[/m]
👍
0
👎 0
Поскольку задача формально обсуждена, позволю себе уточнить ппредложение, сделанное Виктором Ивановичем в # 5.
С модулем действительно делать ничего не надо. Разложить биквадратный многочлен в произведение, избавиться от знакоположительного балласта [m](x^2+1)[/m], а к полученному неравенству применить обобщённый метод интервалов (заметим, что при переходе через точки [m]\pm\sqrt{3}[/m] знак левой части меняется, а через 1 — нет):
[m]|x-1|(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\geqslant 1.[/m]

[m]\begin{picture}(146,50)\put(0,30){\vector(1,0){146}}\put(0,30){\oval(60,20)
👍
0
👎 0
Увы, картинка не собралась :-((((((((
👍
+4
👎 4
Сократить можно, только нужно делать это правильно. Ваша ошибка довольно распространённая, причём допускается не только в модульных, но в самых разных уравнениях и неравенствах. А именно, делят на какое-то выражение, и пишут дополнительное условие — это выражение не равно 0. Обосновывая "мы ведь на него делим, а на 0 делить нельзя."
Ошибка здесь в том, что деление на это выражение мы выбрали сами, задача нас к этому не обязывает. Мы написали, что модуль не равен 0, потому что нам так удобнее, нам хочется разделить. А в задаче требуется найти все случаи, когда неравенство верно. И среди этих случаев могут быть "особые", когда делить нельзя.

Я бы решал задачу так: рассмотрим в общем виде неравенство |a|*b>=0. Когда оно верно? Возможны два случая. Если a != 0, то можно, выражаясь Вашими словами, "сократить" на |a|, и получить b>=0. Если же a=0, то b — вообще любое число. Т.е. получаем равносильный переход

[m]|a|\cdot b\ge 0\Leftrightarrow \left[a=0 \atop b\ge 0\right.[/m]

с помощью которого всё легко решается и получается правильный ответ.
👍
0
👎 0
большое вам спасибо!
  #24   30 дек 2011 18:30   Ответить
👍
+1
👎 1
В правой части, естественно, 0, а не 1. А картинка вот какая:

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 01

С5 математика   1 ответ

Задача из Козко, параграф 8 № 15. ответ а = sqrt (3/2)
Найти все а при которых единственное решение:
[m]\sqrt[4]{{x}^{2}-6ax+10{a}^{2}}+\sqrt[4]{3+6ax-{x}^{2}-10{a}^{2}}\geq \sqrt[4]{\sqrt{3}a+24-\frac{3}{\sqrt{2}}+\left|y-\sqrt{2}{a}^{2} \right|+\left|y-\sqrt{3}a \right|}[/m]

Думаю, что нижняя крышка графика суммы модулей должна превоатиться в точку. Подскажите, пожалуйста, как решить.
  19 май 2014 11:17  
👍
+1
👎 10

Решить   0 ответов

Решить:
[m]\arccos (2x — 3) \geq \frac{3 \pi }{4} + \frac{1}{2} \arccos (2x — 3)[/m]
👍
+1
👎 10

Решить неравенство   0 ответов

Решить неравенство:
[m]\frac{1 — sinx}{1 + sinx} \leq 0[/m], [m]x \in [-\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2}][/m]
👍
+4
👎 42

Логарифмическое неравенство.   2 ответа

[m]\log_{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}{(x^2-2x-2)}\geq\log_{2+\sqrt{3}}{(x^2-2x-3)}[/m]

Достаточно коварное неравенство.
👍
0
👎 00

В множестве E, состоящем из n элементов, выделены m различных подмножеств   0 ответов

"В множестве E, состоящем из n элементов, выделены m различных подмножеств
(отличных от самого E) так, что для любых двух элементов множества E существует
единственное выделенное подмножество, содержащее оба элемента. Докажите неравенство [m]m \geq n[/m]. В каких случаях возможно равенство?
Н.Бурбаки.
"
👍
0
👎 07

Математика, система. #2   7 ответов

V, w, S > 0

система из 2х ур-ий:
[m]5V+5(w-V)=S[/m]
[m]\frac{S}{w-V}+\frac{S}{w+V}=\frac{S}{V}[/m]

верно ли, что
[m]\frac{S}{V}\leq 12[/m] ?
  14 фев 2012 19:13  
ASK.PROFI.RU © 2020-2022