Площадь правильного восьмиугольника

Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению наибольшей и наименьшей из его диагоналей.

Шары одинакового радиуса уложены один раз в форме квадрата, а другой раз — в форме правильного треугольника. Найти количество шаров, если известно, что вдоль стороны квадрата располагается на два шара меньше, чем вдоль стороны треугольника.

Лысина дедушки Порфирия имеет форму правильного круга диаметром девять сантиметров. Его супруга утверждает, что лысина дедушки Порфирия образовалась в результате любовных похождений на стороне. Сколько любовных похождений на стороне совершил дедушка Порфирий, если известно, что после каждого похождения его лысина увеличивалась на 0.5 кв см?

Дана последовательность: 1,1,2,3,7,22... Каждый член равен произведению предыдущих двух плюс 1. Доказать, что ни один член последовательности не делится на 4."
(8-й класс, 1965г.)

ну, хотя, это и не АнтиЕГЭ, поддержу пост Андрея Дмитриевича в знак уважения:

35. Середины высот треугольника лежат на одной прямой. Какое максимальное значение может принимать его площадь, если длина его наибольшей стороны равна 10?
34. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 36 и 48. Найдите расстояние от центра окружности, вписанной в этот треугольник, до его высоты, проведенной к гипотенузе.

На доске была начерчена трапеция, в ней была проведени средняя линия EF и опущен перпендикуляр OK из точки O пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стерли. Как восстановить чертеж по сохранишимся отрезкам EF и OK?

"В данный круг вписать прямоугольник наибольшей площади."

(ну, чего-то совсем скучно... посмотрим что в Квантах про окружность...)

"Четыре круга, центры которых — вершины выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
Г.А. Гальперин."