Найти радиус

В прямоугольном треугольнике ABC катет АВ=3, катетАС=6. Внутри иреугольника находится окружнось. Расстояние от внршины С до окружности равно 1, от А-2, от В- 3. Найти радиус окружности. Это задача школьной олимпиады. Никто не решил. Учительница не говорит решение. Хотя бы с чего начать, подскажитен.

Начните вот с чего:

(1) Уточните, что означают слова "внутри треугольника находится окружность".
(2) Уточните, что называется расстоянием от точки до окружности.
(3) Попытайтесь сделать рисунок. Я уже пытался, у меня ничего не получилось.
Может быть, мы с Вами по-разному понимаем, что означают (1) и (2) ?

Такая была формулировка. Мы спрашивали, нам сказали, что центр точно находится внутри окружности.
А вот уточняю. В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ=3см, катет АС=6см.Расстояние от вершины А до окружности, то есть от вершины А по линии, соединяющей вершину А с центром окружности до касания с окружностью, равно 1см, от В до окружности равно 2 и от С до окружности 3.

В математике важна точность в каждой фразе.
И прежде, чем приступать к решению задачи,
нужно самому для себя условие уточнить до мелочей.

Иногда от этого больше пользы, чем от самого решения!

Сейчас начну придираться:

"...центр точно находится внутри окружности"

Что значит ТОЧНО находится внутри окружности,
а что значит ПРИБЛИЖЁННО находится внутри окружности?
Центр чего находится внутри окружности?
Центр окружности находится внутри окружности?
Или центр треугольника находится внутри окружности?
А может быть, кто-нибудь из них внутри ТРЕУГОЛЬНИКА?

Как по-Вашему, одно и то же или разное означают фразы
"внутри треугольника находится окружность"
и
"внутри треугольника находится центр окружности" ?

Ну конечно же центр окружности находится внутри треугольникеа.

Вы ко мне "придирались", уточняли. А когда же помогать будете??????

Берем Ваш треугольник и помещаем его в декартову систему координат так, чтобы катет AB лежал на оси oY, а катет AC лежал на оси oX. Пусть, для определенности, координаты точек таковы: A=(0,0), B=(0,3), C=(6,0). Пусть координаты центра O окружности есть O = (x,y), а ее радиус есть r, тогда имеем систему:
[m]\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^2+y^2} -r&= 2\\ \sqrt{x^2+(y-3)^2} -r&=3\\ \sqrt{(x-6)^2+y^2} -r&=1 \end{matrix}\right.[/m]
Отметим, что решать эту систему --- это грустное занятие.

Я попросил Maple решить эту систему, и он пришел к выводу, что она не решается аналитически.
Приближенные численные решения есть:
[m]r = 1.504669738, x = 3.500778290, y = 0.1651100872.[/m]

Вывод: либо я неправильно составил систему, либо Maple не смог (крайне маловероятно, т.к. он знает, что такое базисы Гребнера), либо я неправильно понял задачу, либо исходные данные неверны, либо кто-то решил поиздеваться над школьниками.

Так же грустное занятие — через площади 3-х тр-ов по Герону.

Для того, чтобы окружность лежала внутри треугольника должно быть расстояние от A до нее 2, от B до окружности 1 и от C 3, иначе она выйдет за внутреннюю область треугольника.
Как я понял Maple тупит, система решается относительно легко (я почти решил ее руками). Если принять мое предположение о расстояниях, то :
[m]r=\frac{-127+4\sqrt{2870}}{62}.[/m]
Может что-то с условием не так.

Я построил рисунок в Автокаде по вашим данным. Вроде все сходится)

Я думаю, что эти мои данные неправильные (я взял их из старт.поста), в #3 приведены измененные данные (если использовать их, то правильный ответ в #11). Т.к., если внимательно прочитать условие, не требовалось, чтобы вся окружность лежала во внутренней области треугольника, то мое предположение из #10 безосновательно, и правильным следует считать ответ из #11.

Задумаемся, зачем дан прямоугольный треугольник. Мысль первая, которая и пришла в голову Андрею Михайловичу- использовать координатный метод. Но... не получилось.. Но зачем-то он дан.
Эта задача очень похожа на физтеховские задачи. Догадаешься до идеи, задача станет тривиальной.

У меня другой ответ
[m]x=\frac{8\sqrt{11}-19}{7}[/m]

Это правильный ответ в предположении, что от A до окружности 1, от B до нее 2 и от C до нее 3.
Если посчитать координаты (x,y) центра окружности, то получим:
[m]r = 1.076142618, x = 1.974619127, y = 0.6412857942,[/m]
т.е. окружность выйдет за пределы внутренней области треугольника. Поэтому я предположил в #10, что в условии ошибка и A--- 2, B --- 1, C --- 3.

Попробуем применить алгебраический подход.
Обозначим искомый радиус через х, а центр окружности точкой О, угол ОАС=а. Тогда АО=х+1, ВО=х+2, СО=х+3. Из треугольников АОС и АОВ по теореме косинусов получаем систему
(х+3)^2=(x+1)^2+36-12(x+1)cosa
(x+2)^2=(x+1)^2+9-6(x+1)sina.
Решаем, получаем
[m]x=\frac{8\sqrt{11}-19}{7}[/m]

А как решить эту систему. У меня никак не получается.

Два тела движутся по окружности равномерно в одну сторонц. Первое тело проходит окружнось на 2 сек быстрее второго и догоняет второе каждые 12 сек. За сколько секунд первое тело проходит окружность.
Задача для подготовки к ЕГЭ, никак не получается

Надо сравнить 59! и 30^59. Была такая задача на школьной контрольной-9 класс, никто не сделал.

Учительница говорит, что теперь нужно верно сделать 8 задач части В, чтобы получить аттестат...Правда ли так?

Теперь вот геометрия не поддается. По одной -всего три.
В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С опущена высота СD. Проекция отрезка BD на катет ВС равна l=27, а проекция отрезка АD на катет АС равна m=8. С точностью до одной сотой найти длину гипотенузы АВ (без калькулятора).
Пробовали, рисовали, но много неизвестных отрезков получается для нахождения гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ=3, катет АС=6. Центры окружностей радиусов 1,2 и 3 находятся в точках А,В, и С соответственно. Найти радиус окружности, касающейся каждой из трех данных окружностей внешним образом.
Задача дистанционной школы. Нарисовали, но ничего не увидели.