Можно ли квадрат разрезать на прямоугольники, никакие два из которых не…

Можно ли квадрат разрезать на прямоугольники, никакие два из которых не имели бы обшей стороны.

Бабушка испекла для 4 внуков три идеально круглых, одинаковой толщины пирога диаметром 18, 24 и 30 см. А затем ухитрилась их разрезать всего на 5 кусков, но каждый из внуков при этом получил равную долю? Как ей это удалось?

В ученом совете состоит 19 профессоров.Однажды каждый из них написал письма 9 челнам совета.После этого оказалось, что каждый получил ровно 9 таких писем.Могло ли оказаться,что никакие два учёных не написали друг другу?

В процессе занятий со школьниками мы очень часто приводим в пример торт, который делится на части. Такой пример очень хорошо характеризует дробные числа, позволяет их ощущать более явно, дает возможность их наглядного сравнения.
Эта задача просто должна была прийти мне в голову, но, как ни странно, не пришла. Зато пришла кому-то другому. :-)

Задача.
На какое минимальное число кусков надо разрезать [m]m[/m] одинаковых тортов, чтобы эти куски можно было раздать поровну [m]n[/m] людям?

1. Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью пустых трехлитрового и пятилитрового бидонов.
2. Квадратная таблица размером n × n заполнена неотрицательными числами так,
что как сумма чисел любой строки, так и сумма чисел любого столбца равна 1.
Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два
из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.
Н.Б. Васильев, М.И.Башмаков.

Некоторые грани выпуклого многогранника покрашены так, что никакие две покрашенные грани не имеют общего ребра. Докажите, что в этот многогранник нельзя вписать шар, если а) покрашенных граней больше половины; б) сумма площадей покрашенных граней больше суммы площадей непокрашенных граней.
Н.Б. Васильев, М.И.Башмаков.

"Пусть дан тупоугольный треугольник. Можно ли разрезать его на меньшие треугольники так, чтобы все они были остроугольными?"