|
👍 +1 👎 |
Минимальное значение суммы расстояний от точки внутри треугольника до его вершин…Здравствуйте!
Не могу решить задачу: Известна гипотенуза прямоугольного треугольника 2. Минимальное значение суммы расстояний от точки внутри треугольника до его вершин равно корню из 7. Найти углы треугольника. Что это за точка я знаю. Только вот ничем это не помогает. |
|
👍 +1 👎 |
Очень хорошая задача. Скажите пожалуйста, откуда она у Вас?
Знаете ли Вы доказательство минимальности этого расстояния с помощью поворота исходного треугольника на 60 градусов? Если да, то мне будет проще помочь. |
|
👍 +2 👎 |
Так о какой точке идет речь?
И сначала решите задачу, являющуюся кирпичиком для этой. Доказать, что расстояние от точки, лежащей на окружности, описанной вокруг правильного треугольника, до дальней его вершины равно сумме расстояний до ближних. |
|
👍 +1 👎 |
Речь идет о точке Ферма.
То, что Вы написали, я не могу доказать. Дайте, пожалуйста, подсказку. |
|
👍 +1 👎 |
По поводу моей задачи.
Отложите на большем отрезке один из меньших и соедините с другим концом. Получите равносторонний треугольник. Дальше надо подумать. По поводу Вашей задачи. Когда речь идет о минимальной сумме отрезков, то мысль о спрямлении их в один отрезок, равный их сумме очень часто помогает. В Вашей задаче необходимо спрямить 3 отрезка, 2 из которых будут спрямлены методом из из моей задачи. А откуда Вы узнали о точке Ферма? Если Вам задают задачи такого уровня, то должны были задавать и более простые. Интересно было бы на них посмотреть. Интересуюсь я потому, что, может быть, решение, которое хотели от Вас получить, завязано на каких-то подготовительных задачах, Вам рассказанных. Я же веду Вас сейчас по своей линии. В геометрии очень много разных подходов, и они могут сильно отличаться друг от друга. |
|
👍 0 👎 |
По Вашей задаче — дальше нужно доказать, что соответствующие отрезки равны. Как это доказать примерно понятно, через равенство дуг.
А как применить это к моей задаче? Подготовительных задач нам не давали. Мне бы хоть как-нибудь решить. |
|
👍 0 👎 |
И все-таки постарайтесь произвести четкое доказательство предложенной мной задачи. Что Вы имеете ввиду под равенством дуг, мне не понятно.
Задача, предложенная мной в разы проще Вашей, к которой пока не имеет смысла даже приступать. То есть, чтобы у Вас смогла сформироваться хоть какая-то идея решения Вашей задачи, мне предварительно понадобится дать Вам несколько подготовительных. Не вижу смысла в выкладывании сразу полного решения, потому как это не принесет Вам никакой пользы в направление освоения геометрии. Ведь именно за этим Вы ходите в кружок, не так ли? |
|
👍 0 👎 |
Задача сводится к решению системы относительно a,b
[m]\begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy={{a}^{2}} \\ & {{y}^{2}}+{{z}^{2}}+yz={{b}^{2}} \\ & {{x}^{2}}+{{z}^{2}}xz=4 \\ \end{align}[/m] [m]\begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\ & x+y+z=\sqrt{7} \\ \end{align}[/m] Получаем a=1, b=[m]\sqrt{7}[/m]или наоборот. Тогда вычисляем углы. |
|
👍 0 👎 |
КБМ, теорема Пифагора не выполняется.
Владислав Аркадьевич, мне нужно решить до завтра эту задачу, времени совсем нет. Учитель дал на самостоятельное изучение эту тему. Я почитала о точке Ферма, но это мне не помогло. Напишите, пожалуйста, решение. Очень надо! Если что-то будет непонятно, я начну с более простых задач. Спасибо! |
|
👍 +3 👎 |
Я не выкладываю готовых решений, так как это наносит вред. Это не просто отмазка, а мое искреннее убеждение. С детства нужно привыкать к тому, что любые успехи и достижения должны зарабатываться собственным трудом. Только в этом случае эти успехи могут доставлять удовольствие и иметь ценность. Если Вы, действительно, ходите на кружок и, действительно, интересуетесь математикой, то списанная задача, как мне кажется, значительно превосходящая Ваш сегодняшний уровень, не принесет Вам никакой пользы. А вот чему-то научиться на ней у Вас есть все шансы.
Добавлю, что я готов вести дальнейшее обсуждение в данной теме, если Вам это интересно, не смотря на окончание сроков сдачи решения учителю. |
|
👍 0 👎 |
Спасибо Вам! У меня еще есть время подумать до вечера.
|
|
👍 −1 👎 |
a=1,b=корень из 3
|
|
👍 0 👎 |
[m]{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+yz={{b}^{2}}[/m]
[m]{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy={{a}^{2}}[/m] [m]{{x}^{2}}+{{z}^{2}}+xz={{c}^{2}}=4[/m] [m]{{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}=4[/m] [m]x+y+z=\sqrt{7}[/m] В этой системе a,b –катеты, с-гипотенуза, x,y,z – расстояния от вершин до точки Торричели. Уравнения- теорема косинусов , когда угол равен 120 градусов. Ответ:30 и 60 |
|
👍 +2 👎 |
Ну и как ребенок будет решать эту жуть, которая сложнее исходной задачи?
|
|
👍 0 👎 |
Эта "жуть система из задачника для школьников. Умножаете первое уравнение на (y-z), второе на (x-z), третье на (z-x) и все станет очевидно.
|
|
👍 0 👎 |
После умножения эти три уравнения складываете, потом система превращается в систему однородных уравнений. Это уже просто, (если в школе нормально учат). Тогда полное решение системы
[m]x=\frac{4}{\sqrt{7}}y=\frac{1}{\sqrt{7}}z=\frac{2}{\sqrt{7}}[/m] [m]a=\sqrt{3}[/m] , b=1 Такой алгебраический подход дает возможность решать задачи на эту тему единым способом. Например, В треугольнике даны три стороны 2,3, корень из 7. Найти расстояния от точки внутри треугольника до вершин треугольника, если их сумма должна быть минимальной. |
|
👍 +1 👎 |
Может еще базис Грёбнера построить предложите?
Ваш "метод" хорош для инженера, вот только беда в том, что инженеры задач не решают, а если решают — то на порядки более сложные. Настолько сложные, что при наивном подходе а-ля КБМ даже супер-компьютер не помогает. Да и что мелочиться то — могли бы и вовсе методом неопр. коэффициентов решить — тут и задача оптимизации для нахождения точки Торричелли вылезла бы. Почему-то Вы точку Торричелли предпочли искать геометрически — непоследовательно это. |
|
👍 +4 👎 |
Ниженаписанное будет относиться к случаю несовпадения Вашей личности с личностью топик-стартера. В случае же совпадения, Вы в очередной продемонстрировали свое "мастерство".
Вы совершили сразу 2 подлости. Выложили "готовое" решение ученику, который сам ни сделал ни единого шага в направлении этого решения. Толку от такого подхода для ученика — ноль. Решение, которое Вы предложили, конечно, как Вы любите, легко забивается в мат. пакет и получается ответ без включения мозга. Вдобавок, сразу убивается вся красота и идейность задачи, полностью лишая ее "геометричности". |
|
👍 0 👎 |
Владислав Аркадьевич, я пыталась решить также как КБМ, но система не решалась, поэтому начала искать другие способы, наткнулась на понятие точки Ферма. А вот с точкой Ферма сложнее.
|
|
👍 +2 👎 |
Если Вы пойдете по моему пути, то система будет состоять из двух уравнений с двумя неизвестными, решение которой получается практически устно.
|
|
👍 −1 👎 |
Я просто продемонстрировал возможности алгебраического подхода к решению геометрических задач.
А вы все страдаете манией преследования. Опять нарушаете правила форума, комментируете чужие решения. |
|
👍 0 👎 |
Борис Михайлович!
Дайте, пожалуйста, ссылку на пункт правил форума, который запрещает комментировать чужие решения. (Не верится, честно говоря, что существует подобный запрет. Я однажды, отвечая кому-то из посетителей сайта глубокой ночью, умудрилась дискриминант неправильно вычислить. (: Неужели тот, кто первым заметил ошибку, не должен был о ней написать?) |
|
👍 −3 👎 |
Думаю,Вы неправы.В наше динамичное время некогда пересчитывать со счетами в руках.Главное понять принцип,а не истязать себя "рутиной".
|
|
👍 +2 👎 |
Точно. Главное — запатентовать и удостоверить свой приоритет. А уж будет ли работать — "не царское дело" об этом размышлять. :]
|
|
👍 +1 👎 |
Если бы целью решения задачи было получение ответа, то несомненно лучший способ — заглянуть сразу в конец задачника. :[
Но мне "почему-то" кажется, что и у контрольных, и у экзаменов, и олимпиад настоящая цель немного другая. :] (Подсказка для тугодумов: и решение, и ответ уже известны составителям.) |
|
👍 0 👎 |
Я бы пошла по Вашему пути, но вот уже вторые сутки думаю, тяжело дается.Равенство отрезков неочевидно. Возможно, я не знаю каких-то методов. Я же только учусь.
|
|
👍 +1 👎 |
Исходный треугольник [m]ABC[/m] равносторонний.
Доказать, что [m]AD=BD+BC[/m]. Указание. Отложен отрезок [m]DE=CD[/m], точки [m]E[/m] и [m]C[/m] соединены. Продолжите доказательство. В таком виде дальнейшее доказательство достаточно простое, соответствует по уровню задаче на доказательство из ГИА.  |
|
👍 0 👎 |
Извините, допустил опечатку.
Доказать, что [m]AD=BD+CD[/m]. |
|
👍 0 👎 |
А! Все, дошло
И как теперь это использовать для моей задачи? |
|
👍 0 👎 |
А Вы обратили внимание на то, чему равен [m]\angle BDC[/m]?
Из этого можно догадаться, какой точке в Вашей задаче соответствует точка [m]D[/m] из этой. |
|
👍 0 👎 |
Угол BDC 120 градусов. Получается, через точку Ферма и две вершины треугольника нужно провести окружность?
|
|
👍 0 👎 |
Да. И произвести те же построения, что сделаны мной.
|
|
👍 0 👎 |
Окружность не так важна, если считать, что все связанное с точкой Ферма доказано. Вообще, если принять это, то решение у задачи очень короткое. Однако, я бы на Вашем месте все-таки не оставлял доказательство в стороне.
|
|
👍 0 👎 |
Коллега, а почему Вы называете ее точкой Ферма? У точки Торричелли есть еще один псевдоним?
|
|
👍 0 👎 |
В данной задаче речь идет точке, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимально. Это определение соответствует точке Ферма.
Так как в этой задаче все углы треугольника меньше 120 градусов, то точка Ферма совпадает с точкой Торричелли. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%EA%E0_%D4%E5%F0%EC%E0 |
|
👍 0 👎 |
Владислав Аркадьевич, у меня получается сложная система. Я написала теорему косинусов для двух треугольников. Или какую систему лучше составить?
|
|
👍 0 👎 |
Было бы здорово, если бы Вы выложили сюда свой рисунок (ссылку на него), а также свои уравнения, чтобы я мог дать более конкретный совет.
|
|
👍 −1 👎 |
А как будете решать задачу, которая была на внутреннем экзамене одного ВУЗа. В треугольнике даны три стороны. Найти: вариант1) минимум суммы расстояний от точки внутри до вершин треугольника, вариант2)минимум и его слагаемые.
|
|
👍 0 👎 |
Пожалуйста, не пишите здесь больше. Общайтесь где-нибудь там, где с Вами захотят общаться.
|
|
👍 +1 👎 |
Маргарита, облегчу Вам задачу.
Вот рисунок. Рассказывайте, что Вы получили.  |
|
👍 −1 👎 |
Вот другое решение.
Исходный треугольник делится отрезками x,y, z на три треугольника, площади которых ,глядя на рисунок, запишутся в виде: [m]{{S}_{1}}=\frac{1}{2}xy\sin 60=\frac{1}{2}xy\frac{\sqrt{3}}{2}[/m], [m]{{S}_{2}}=xz\frac{\sqrt{3}}{2}[/m], [m]{{S}_{3}}=\frac{1}{2}yz\frac{\sqrt{3}}{2}[/m],[m]{{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}=S=\frac{1}{2}ab[/m], Следовательно, xy+xz+yz=[m]2\frac{ab}{\sqrt{3}}[/m] Используя теорему косинусов для каждого из этих треугольников, получим соотношение [m]2({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})+(xy+xz+yz)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{c}^{2}}=8[/m]. Но [m]{{(x+y+z)}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2(xy+xz+yz)[/m]. Собирая все вместе, получим [m]2{{(x+y+z)}^{2}}-3(xy+xz+yz)=8[/m] или [m]2\cdot 7-3\frac{2}{\sqrt{3}}ab=8[/m], откуда ab=[m]\sqrt{3}=1\cdot \sqrt{3}[/m], значит катеты равны 1 и [m]\sqrt{3}[/m], значит задача решена. Есть еще более короткое решение в одну строчку. |
|
👍 −2 👎 |
При заданной гипотенузе 2 не так много вариантов для катетов. Подбираете катеты , потом проверяете условие минимум равен корень из 7. Условие проверки [m]{{(x+y+z)}^{2}}=\frac{3ab}{\sqrt{3}}+4[/m]
А можно один катет находить по теореме Пифагора( это следует из определения точки Торричели и предположения о единственности решения) [m]{{(\sqrt{7})}^{2}}={{2}^{2}}+{{a}^{2}}$, $a=\sqrt{3}[/m] |
|
👍 +3 👎 |
|
|
👍 +4 👎 |
Боже мой! Какую дискуссию вызвала моя задача.))
Честное слово, я не имею НИКАКОГО отношения к КВМ. Не накручивайте, жизнь не настолько сложна, я думаю. За подсказки, решения всем спасибо. |
Задайте свой вопрос по математике
профессионалам
● Сейчас онлайн
75
репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно
Получите ответ профи быстро и бесплатно
Другие вопросы на эту тему:
|
👍 0 👎 |
В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36, вписана окружность.…
|
|
👍 +1 👎 |
Задача по математике, геометрия
|
|
👍 0 👎 |
Задача по геометрии
|
|
👍 0 👎 |
Сайты по геометрии
|
|
👍 0 👎 |
Почему в проективной геометрии при пересечении двух прямых получаем множество точек
|
|
👍 +3 👎 |
Планиметрия, и непросто
|
ASK.PROFI.RU © 2020-2024