Математика. Вычислить криволинейный интеграл I рода.

Здравствуйте. Необходимо вычислить интеграл I рода, т.е. длину дуги L.
Постарался написать своё решение как можно понятней. Подскажите, пожалуйста, что можно сделать далее.

Дано:
∫отL [y^2/xdl], где L-дуга параболы y^2=2x, соединяющая точки A (1;√2) и B (2;2)

Решение:
∫отL [y^2/xdl]=∫от1до2 [2x/x×√(1+1/2x)dx]=2∫от1до2 [√(1+1/2x)dx]=...

...далее зделал замену:
{1+1/2x=t^2;
x=1/(2(t^2-1));
dx=-tdt/(t^2-1)^2;
t1=√1,5;
t2=√1,25}
и далее =2∫от√1,5до√1,25 [-(t×tdt)/(t^2-1)^2] =-2∫от√1,5до√1,25) [(t^2 dt)/(t^2-1)^2]=???

Во-первых, ищется не длина дуги L, а интеграл по дуге L. Во, вторых, подинтегральная функция на этой дуге тождественно равна 2, и интеграл действительно численно равен длине дуги L. НО УДВОЕННОЙ.

В-третьих, удобнее вычислять дифференциал dl не как
(sqrt(1+(dy/dx)**2))dx,
а как
(sqrt(1+(dx/dy)**2)dy,
что моментально дает
(sqrt(1+y**2))dy.

Следующая подсказка — уже решение. Надеюсь, Вы без нее обойдетесь.

Честно говоря, так я тоже решал и тоже зашёл в тупик.
В этом случае:
∫отL [y^2/xdl]=∫отsqrt2до2 [(2y^2/y^2)×sqrt(1+y^2)]dy=2∫отsqrt2до2 [sqrt(1+y^2)]dy=...

...далее зделал замену:
{y=tg(t);
dy=dt/(cos(t))^2;
t1=arctg(sqrt2);
t2=arctg (2)}...

...и далее =2∫отarctg(sqrt2)доarctg(2) [(sqrt(1+(tg(t))^2)/(cos(t))^2]dt =2∫отarctg(sqrt2)доarctg(2) [1/(cos(t))^3]dt=???

И не знаю, что можно сделать дальше.

Можно делать и так, как Вы пишете. Теперь домножайте числитель и знаменатель дроби на cos(t), после чего
р=sin(t) ; dp=cos(t)dt; (cos(t))**2=1-t**2,
и интегрируйте себе рациональную дробь.

Несколько лучше интегрировать по частям:

U=sqrt(1+x**2) dV=dx
dU=x/sqrt(1+x**2) V=x

с последующим выделением целой части из VdU

Здравствуйте еще раз . подскажите как решить определенный интеграл
x(2-x^2)^12 , x=0...1

Как обычно, заменой переменной:

t=x^2-2; t(0)=-2; t(1)=-1; dt=2xdx; xdx=dt/2.

После этого под интегралом остается степенная функция, и решение на этом заканчивается.

помогите пожалуйста решить: интеграл от dx/(2x+3)^3
заранее спасибо.

А что его решать ? Обозначаем

t=2x+3; x=(t-3)/2; dx=dt/2.

и золотой ключик у нас (точнее, у Вас) в кармане.

Помогите вычислить дифференциалd^2(sin(x+1)*ln(1+2x)/dx^2 и d^2(tg(1+x^2))/dx^2

На школьном глобусе проведены 36 меридианов и 35 параллелей. На сколько частей эти линии разбивают поверхность глобуса? (Напомним, что меридиан — это дуга, соединяющая Северный полюс с Южным, а параллель — это окружность, “параллельная” экватору или совпадающая с ним.)

интеграл (x штрих)^3 по dt

∫отL [x-y]dl, где L-окружностьx^2+y^2=2x

Решение:
x=r*cos(ф)
y=r*sin(ф)

r^2*cos^2(ф)+r^2*sin^2(ф)=2rcos(ф)
r=0 и r=2*cos(ф)=>ф=+-2; cos(a)>=0

dl=2*sqrt[cos^2(ф)+sin^2(ф)]dф=2dф

∫отL [(x-y)dl]=2*2∫от0 до pi/2 [2*cos(ф)*cos(ф)-2*cos(ф)*sin(ф)dф]....-правильна ли последняя запись?


.

http://s47.radikal.ru/i118/1205/42/82461fb63afe.jpg

Догадываюсь, что именно эту теорему нужно применить. Как подступиться к задаче?

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и равен половине дуги, на которую он опирается, либо дополняет половину центрального угла до 180°.

Найти расстояние от фокуса параболы y=1/8*x^2 до прямой 3x+4y+2=0.