Математическая задача . Принцип Дирихле .

По краю круглого стола равномерно расставлены таблички с фамилиями дипломатов , участвующих в переговорах. После начала переговора оказалось , что ни один из дипломатов не сидит против своей таблички . Докажите , что можно повернуто свой стол так , чтобы не меньше двух дипломатов сидели против своих табличек.

Пусть дипломатов N. Тогда, поворачиваясь, стол может занимать N позиций.
Каждую такую позицию назовём "клеткой".
Будем говорить, что дипломата посадили в некоторую "клетку",
если при соответствующей позиции стола он сидит рядом со своей табличкой.
Очевидно, что каждого дипломата посадили в какую-нибудь (ровно одну) клетку
(другими словами, поворачивая стол, можно табличку этого дипломата
разместить возле этого дипломата).
Но одна клетка оказалась пустой (в начале переговоров
ни один из дипломатов не сидит рядом со своей табличкой).
Следовательно, хотя бы в одной клетке — не менее двух дипломатов.

К Деду Морозу в гости пришли 12 детей, ему завязали глаза и сели за круглый стол. Дети могли одеть маску лисы или маску зайца. Зайцы говорят правду. Лисы — только неправду.
А) В первой игре каждый утверждал, что его сосед слева лис.
В) Во второй игре некоторые дети поменяли маски. Каждый утверждал, что он сидит между лисом и зайцем.
Задание:
1. Может ли Дед Мороз на основании а) и в) установить, сколько лис и зайцев было в каждой игре и как они сидели?
2. Перечислить все возможные решения
3. Доказать, что других решений быть не может

!) Докажите что , среди 65 кубиков , каждый их которых выкрашен в определённый цвет , всегда можно выбрать либо 9 кубиков выкрашенных в разные цвета , либо 9 одного цвета.
2) Сколько кубиков нужно взять , чтобы среди них наверняка нашлось либо 10 разноцветных , либо — 14 одного цвета?

математическая задача , принцип Дирихле.
У биологов Наташи , Ани , Оли есть 49 лабораторных мышей . Пытливые экспериментаторы поделили мышей между собой . Докажите , что хотя бы у одной из них найдутся или пять одинаковых мышек , или пять разных .

В таблицу 9X9 расставлены числа 1, 2, 3, 4.....81. Доказать, что при любой расстановке найдутся две соседние клетки такие, что разность между числами, стоящими в этих клетках, не меньше 6 (соседними называются клетки, имеющие общую сторону).
(6—...кл.)

В классе 25 учеников. Среди любых трех из них есть двое друзей. Доказать, что есть ученик, у ктрого не менее 12друзей. Мне сказали, что задача на принцип Дирихле, прочитал, но не пойму, где клетки и где кролики.

Ну, пора.
Этакая сложнотянутая задачка.