Как продифференцировать интеграл произведения

Дано интегральное уравнение

y(x) = cos x + ∫( 0, x, sin (x — t) y(t) )dt

Разбираю решение. Написано:
Продиффиренцируем интегральное уравнение.

Начал искать, как дифференцировать интеграл.
Нашел только такую формулу:
( ∫(0, x, f(x, t)dt) )' = f(x, x) + ∫(0, x, f'(x, t))dt

Но в данном примере в качестве подынтегральной функции фигурирует произведение. И не совсем понятно, как продифференцировать интеграл произведения.

Формула Лейбница есть для производной параметрического интеграла, её можно найти в любом учебнике по матанализу. Впрочем, здесь можно просто разложить синус и вынести функции от x за знак интеграла, после чего задача сведётся к дифференцированию интеграла с переменным верхним пределом интегрирования.

Данная формула может быть применена к интегралу с любой подынтегральной функцией двух переменных, с том числе и являющейся произведением. Поскольку левая часть дифференцируется по x, то под f' подразумевается частная производная функции f() по независимой переменной x.

Понятно, спасибо. Дифференцируем по x, значит y(t) — как константа

Ну так эта формула для любой подинтегральной функции годится! Под интегралом нужно только синус дифференцировать по x.

В формуле и в решении производная берётся по переменной x, поэтому произведение дифференцировать не нужно, y(t) выносится за знак производной как «константа», т.е. в интеграле после дифференцирования вместо синуса вылезет косинус, а y(t) останется.

Вычислить интеграл по ломаной L = OB, O(0, 0, 0), B(0, 2 0)
∫ 2yzdy — y^2dz

Составляем уравнение прямой:
x / 0 = y/2 = z / 0 = t

x = 0
y = 2t
z = 0
t от 0 до 1

x' = 0
y' = 2
z' = 0

P(x, y, z) = 0
Q(x, y, z) = 2yz = 2t * 0 = 0
R(x, y, z) = -y^2 = -4t^2

Получаем
∫( 0 * 0 + 0 * 2 -4t^2 * 0) dt = 0

Не могу понять, в чем ошибка