Докажите, что в прямоугольном треугольнике

Докажите, что в прямоугольном треугольника отношение квадрата радиуса вписанной окружности к сумме квадратов длин медиан, проведенных из острых углов, не превосходит 1/5.

Доказать, что как бы ни было велико число [m]N[/m], можно построить систему не перекрывающихся кругов внутри квадрата и таких, что сумма длин их будет больше [m]N[/m], а сумма их площадей меньше [m]\frac{1}{{N}^{2}}[/m].

Для разминки.
1.В прямоугольном треугольнике ABC из вершины С прямого угла, проведена высота CD. Точка D находится на расстоянии m и n от катетов АС и ВС соответственно.Найти катеты.
2.Найти стороны прямоугольного треугольника по данным периметру 2p и высоте, проведенной к гипотенузе, h.
3.Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на 2 треугольника с площадями q и Q.Найти катеты.

1.Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной на гипотенузу.
2.Построить треугольник по периметру и двум углам.
3.Построить треугольник по заданным отрезкам медианы, биссектрисы и высоты, проведенных из одной вершины.

Рассмотрим следующие свойства тетраэдра (тетраэдр — это произвольная треугольная пирамида):
• все грани равновелики, то есть имеют одну и ту же площадь;
• каждое ребро равно противоположному;
• все грани равны;
• центры описанной и вписанной сфер совпадают;
• для любой вершины тетраэдра сумма величин сходящихся в этой вершине плоских углов равна 180.
Докажите, что все эти свойства эквивалентны. Найдите ещё несколько равносильных им свойства тетраэдра.
(Н.Б.Васильев, А.Л. Тоом.)

ну, и как обычно, плановая, для разминки:
"Возможно ли, чтобы сумма длин трех медиан треугольника была меньше 3/4 его периметра?"
(ну да, типа устной)