Четыре круга

"Четыре круга, центры которых — вершины выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
Г.А. Гальперин."

Можно ли точки трехмерного пространства раскрасить в три цвета так, чтобы не было ни одного отрезка, целиком закрашенного в один цвет?

Какое наибольшее число точек можно разместить
а) на плоскости;
б) в пространстве,
так, чтобы ни одни из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным?

ну, и как обычно:
Можно ли выпуклый четырёхугольник, не имеющий ни центра симметрии, ни оси симметрии, разрезать на две равные (по площади) части?

— Переходите к геометрии. Что у вас там? Круг? Вот и отлично. — И вместо столь знакомых мне теорем по учебнику Семашко, на которых зиждилось все преподавание геометрии в корпусе, маленький генерал велел начертить просто круг, потом другой, побольше, и предложил определить центры всех третьих кругов, касающихся первых двух.

Какие четырёхугольники можно разрезать прямой линией на два подобных между собой четырёхугольника?
Н.Б. Васильев, М.И.Башмаков.

"В данный круг вписать прямоугольник наибольшей площади."

(ну, чего-то совсем скучно... посмотрим что в Квантах про окружность...)

"Четыре круга, центры которых — вершины выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
Г.А. Гальперин."